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 La (6), poiché A non ha radici in $, dà 



(8) I B(a; u)du — a, 



J a 



onde, dalle (7) : 



(5") A~ n {a)z= I B(a; u)u n du, (n = I, 2, ...). 



L'ipotesi dell'esistenza di una risolvente della forma (1) permette dunque di risol- 

 vere l' equazione funzionale lineare di prima specie 



A((p) = a; 

 per la (5"), la soluzione è data da 



(p = j B(a; u)udu . 



48. L'unicità della soluzione dell'equazione di Fredholm, per ogni valore di k 

 non appartenente al segmento a . . . b, si può riconoscere come segue. In sostanza, si ha 

 da dimostrare che per un valore k di k non appartenente al detto segmento, non può 

 esistere elemento invariante di A. Sia, se è possibile : 



ne viene, da (1), 



R(V) 



ri. -. i% 



D' altra parte la (2) permette di scrivere : 



C b B(r> ; u)du " 



per i valori di h tali che \ h — k l \ sia inferiore alla minima distanza di k x dal se- 

 gmento a...b. D'una parte dunque R{r?) avrebbe un polo per k = ft , mentre d'altra 

 parte sarebbe regolare [ter quello stesso valore di k : la proprietà dell'invariante non è 

 dunque possibile se k y è fuori di a . . .b, e quindi l'equazione di Fredholm ha l'unica 

 soluzione (3). Questa soluzione si può esprimere in serie di potenze intere positive 

 di k se è | h | << a ; di potenze intere negative se è | k \ >• b ; di potenze intere posi- 

 tive di h — fe p se k x è preso comunque fuori di a . . . b e | k — h \ è minore della mi- 

 nima distanza di k x da a . . . b . 



49. Nella R considerata come funzione di k. si diano a k i due valori : 



k' = k x -+- iz , k" = h x — iz , 



