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50. Per quanto abbiamo veduto, le operazioni del tipo H non ammettono (§ 48) 

 elementi invarianti relativi a valori del parametro non appartenenti al segmento a . . . b, 

 che, seguendo la nomenclatura dell'Hilbert, diremo spettro dell'operazione. Per i 

 valori u appartenenti allo spettro, esistono invece elementi invarianti (§ 49), verificanti 

 l'equazione (15). Ogni tale elemento è funzione di x e di u. 



Sia o(x , u) un elemento invariante di A per tutti i valori di u appartenenti allo 

 spettro ; sia cioè 

 (15') a(x, u\ ?= uA(a(os, w)) ; 



sarà allora elemento invariante anche c(u)o(x,u), essendo c(u) una funzione arbitraria 

 di u. Più elementi invarianti r,? p o 2 , . . . o r saranno linearmente dipendenti se si potranno 

 determinare r funzioni della sola u, c(u) } -c ì (u),...c r (u), tali che sia identicamente 

 rispetto ad x 



c l (u)o l -+- c 2 (u)o 2 -+- . . . -+- c r (u)a r = 0; 



saranno linearmente indipendenti nel caso contrario. Ogni combinazione lineare, a coeffi- 

 cienti funzioni arbitrarie di u, di più elementi invarianti, è pure un elemento invariante. 



51. Supponiamo che per ogni valore di u compreso fra a e b esista un solo ele- 

 mento invariante per A, all' infuori di un moltiplicatore arbitrario dipendente dalla sola u. 

 Fissiamo per ogni u una determinazione di questo moltiplicatore, in modo che l' inva- 

 riante o(x, u), così determinato, risulti continuo in u. Per ogni elemento a di S è allora 



B(a ; u) = o(x, u) a(u), 



dove a{u) è una funzione determinata di u nell'intervallo a...b; siccome o(x,u) e 

 B(a;u) sono funzioni continue di u, la prima per la determinazione scelta, la seconda 

 per 1' ipotesi del § 46, così anche a(u) è continua. Ma si ha allora, per la (8) : 



C h 

 (16) a{x) == iq(x,u) a(u)du; 



J a 



ne risulta quindi, in base alle ipotesi del § 46, che « se per A e per i valori di u 

 « compresi nell'intervallo a...b, vi è una sola soluzione dell'equazione 



o = uA(a) 



« all' infuori di un moltiplicatore funzione della sola u, gli elementi dello spazio S 

 « ammettono una rappresentazione integrale della forma (16). » 



La corrispondenza fra le funzioni a (x) ed a(u) si può esprimere mediante un 

 simbolo operativo, 



a = T(a) ; 



