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 dove l'operazione T è manifestamente lineare; inoltre, essendo da (5): 



du 



. f / «w 



A (a) = I o(x,u) a(u) — , 



Ja u 



segue che .4 è la trasformata mediante T dell' operazione di moltiplicazione per 1 : u. 

 Da ciò, facili considerazioni, che lasciamo per brevità al lettore, permettono di risol- 

 vere 1' equazione funzionale 



(17) c $ -+- c x A{<p) -h . . . . -+- c m A w ((^) = a, 



dove a è un elemento dato di S e (p è un elemento incognito, mediante la formula 



c?(a?, u) a (n) u m du 



(18) 0=f 



e di discuterne la soluzione. 



C M m + C 1 M 1 "-' + ...+C m ' 



52. Come caso particolare della (17), abbiamo l'equazione di Fredholm, la cui 

 soluzione non dà luogo ad alcuna osservazione se k non è compreso nell' intervallo a . . . b. 

 Se invece è k x un valore di k compreso in queir intervallo, si osservi che : 



ri (fu 



a — k { A (a) = 1 q(x , u) a(u) (u — kj — , 



J a U 



e siccome fra le ipotesi del § 46 vi è quella che B(a , u) = a {oc , u) a(u) sia limitata 

 nell'intervallo a...b (*), così all'elemento a — h^A(a) corrisponde, mediante l'opera- 

 zione T~~\ una funzione di u che, per u = k ì , ha uno zero di prim' ordine almeno. 

 Reciprocamente, se a(u) è nullo almeno di prim' ordine per un valore k^ di u compreso 

 nell'intervallo a...b, la a=T(a) si può porre sotto la forma @ — k A A(@) , dove 8 

 è elemento di $', basta prendere infatti 



fi = ì Q (X , II) 



a(u) du 

 u — k l ' 



dove la funzione sotto il segno soddisfa alle ipotesi del § 46. Onde, sotto quelle ipotesi, 

 « la condizione necessaria e sufficiente perchè l' equazione 



<p — k l A{(p) = a, a < fe) < b 



« abbia soluzione in S, è che T~\a) abbia per u — k i uno zero almeno del primo 

 ordine. » 



Soddisfatta questa condizione e trovata una soluzione <p, la soluzione generale sarà 

 data da (p -f- co (x , k^ dove e è una costante arbitraria. 



(*) Da questa ipotesi sarebbe facile prescindere sostituendola con altra più generale, ma abbiamo 

 ritenuto opportuno di mantenerla per semplicità. 



