Determinazione delle curve in cui si trasforma 

 l'ellisse di gola dell' iperboloide ad una falda 

 per deformazione continua della superficie U 



NOTA 



DEL 



Prof. AMILCARE RAZZABONI 



ietta nella 5 a Sessione 26 Gennaio 1913 



È stato osservato dal Laguerre che le curve in cui si trasforma il circolo di 

 gola dell' iperboloide di rotazione ad una falda, per deformazione continua della super- 

 ficie (restando rettilinee le generatrici di un sistema), sono curve del Bertrand della 

 stessa famiglia. 



Questo teorema, di cui può vedersi una dimostrazione semplicissima a pag. 269, 

 voi. I delle Lezioni di Geometria differenziale del prof. Bianchi, può conveniente- 

 mente generalizzarsi nel modo che andiamo ad esporre. 



Partendo infatti dalle forinole generali contenute nella classica Memoria del Bei- 

 ti* arni: Sulla flessione delle superficie rigate, risulta facilmente che le curve in cui 

 viene successivamente a mutarsi F ellisse di gola di un' iperboloide qualunque ad una 

 falda, per deformazione continua della superfìcie, soddisfano a un' equazione della forma : 



A B 



1 \-C = o. 



p T ' 



nella quale A, B, C anzi che costanti, come nel caso considerato dal Laguerre, 

 sono funzioni di uno stesso parametro, denotando p e T i raggi di flessione e di tor- 

 sione della curva trasformata. 



Consideriamo a tale oggetto le equazioni : 



x = p -+- lu, y = q -+- mu, z = r -+- nu 



di una superficie rigata, nelle quali p, q, r indicano le coordinate dei punti della 

 direttrice espresse per l'arco v della curva stessa e l, m, n sono i coseni direttori 

 della generatrice, funzioni essi pure di v, mentre u è l' altro parametro che fissa la 

 posizione dei punti sulle singole generatrici. 



