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§ 2. — Premesse queste osservazioni generali, passiamo alla ricerca particolare 

 degli integrali polinomiali di primo grado. Nel quadro seguente sono rappresentati i 

 nove coseni di direzione degli assi collegati col corpo (assi principali d' inerzia) con 

 gli assi fissi (ooyz) : 





ooo ] 



oy x 



oz 1 





ox 



a > 



», 



c l 





oy 



«o 



h 



h 





oz 



% 



\ 



C 3 















Supposto dapprima A=\=B=\=C, gl'integrali lineari del moto per inerzia sono: 



E l = Apa x -f- Bgb J -+- Crc ì = e 1 

 E 2 = Apa 2 -t- Bqb 2 -+- Crc 2 = e 2 

 E 3 = Apa 3 -+- Bqb 3 -+- Crc % = e 3 , 



che esprimono esser costante il vettore momento dell' impulso. Per le cose dette gì' in- 

 tegrali cercati saranno della forma 



F l = aE x -+- @E 2 -+- yE 3 = cost , 



ove oc, e y son costanti. L' ultima delle (a) o (b) diventa 



a [a x L -+- b { M -+- c x N) -+- /? {a 2 L -+- b 2 M -+- c 2 N) -+- y {a 3 L 



b 3 M- 



c 3 N=0 



Dunque gì' integrali lineari devono esprimere che è costante la proiezione del mo- 

 mento dell' impulso (vettore) sopra una certa retta R fissa nello spazio ; e per la loro 

 esistenza è necessario e basta che sia nulla la proiezione del momento (1) delle forze 

 agenti (vettore) sulla stessa retta. Queste conclusioni son già note. 



Supponiamo che l'ellissoide d'inerzia sia di rotazione: A = B. In questo caso nel 

 moto per inerzia esiste anche 1' integrai lineare r = cost. 



Allora 1' integrale cercato avrà la forma 



F x = aE { -+- @E 2 -+- yE 3 -+- eCr = cost . 



Prendendo per asse delle z la retta i cui coseni son proporzionali a a /? y l' in- 

 tegrale si riduce a 



F 1 = E 3 -h hCr 



cost 



Per semplicità prendiamo h=zì. Introducendo gli angoli Euleriani risulta 

 (3) F l = AsenOsenfai H- Asendcoscpq -+- C(l -\- cosO)r = cost. 



(*> Si parla sempre di momento rispetto al punto fisso 0. 



