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— 



2c 



= *i> 



a 2 —b 2 



sen 6 dX, 

 cosò' dO 



2X X , 



Posto 



la prima equazione diventa 



rammentando la relazione che passa fra x e 6. L'integrazione è immediata; si ottiene 



Xj = hseird ; 

 e quindi, per la posizione fatta, 



2c 



X' = hsea 2 d 



cf—ì? 



Ora, notando che — = X , — r- = t , non resta che fare le sostituzioni nell'espres- 

 òx ' Zip F 



sione (8) di U. Si trova, dopo evidenti semplificazioni, 



U= — h (a 2 cos 2 (p -+- b 2 sen 2 (p) sen 2 d -+- e lcos2(p g 72 ( ft2 cos 2 (£> -+• b 2 sen 2 (p)\ 



= — h (arcos 2 (p -+- b 2 sen 2 <fi) sen 2 # , 

 tralasciando le costanti addittive. Infine, introducendo i valori di a 2 e b 2 , risulta 



(10) U = — 2U — C)(B—C) (ilgen 20 sen ^ _+_ 5cos 80 se n^ -+- Ccos 2 #) . 



h 



Dopociò, la (7') dà il valore di H : 



H = N— 2CU = X' — 2CU 



hC 



(A—C)(B—C) 



(Asen 2 (psen 2 6 -+- Bcos 2 (psen 2 6 -I- Ccos 2 6 [ -+- hsen 2 d . 



tralasciando le costanti addittive. Quest' espressione assume una forma più simmetrica, 

 ponendo h = K(A. — C) (B — C) e introducendo 1 — cos 2 <£>, 1 — sen 2 (p al posto rispet- 

 tivamente di sen 2 (p e cos 2 (p. Si trova 



H = — K (BCsen 2 (psen 2 d -+- A<7cos 2 <^sen 2 # -+- ABcos 2 d) . 



In conclusione : Quando le forze derivano dal 'potenziale 



U= — — (Asen 2 ^>sen 2 -+- 5cos 2 <^sen 2 # -+- Ccos 2 d) 



esiste r integrale del secondo grado 



(10) A 2 p 2 ■+- B 2 q 2 -h C z r 2 — K {BCsen 2 (p sen 2 d -{- AC cos 2 $sen 2 d -+■ AB cos 2 ) = cost . 



ed è questo il solo caso in cui esista un integrale del tipo (6). 



