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2. — Data ora una curva gobba C, d'ordine m, priva di singolarità, ci occorre 

 costruire una trasformazione monoidale T che abbia C come curva fondamentale o 

 parte di questa. 



A tale scopo ricordiamo che per un ordine u abbastanza grande (in confronto di m) 

 esistono infiniti monoidi d'ordine n, passanti per la curva C e dotati di un punto 

 (n — 1) — pio, 0, prefissato, che prenderemo come punto all' infinito dell' asse z; di più 

 esiste un monoide di cui sia data ad arbitrio la sezione con un piano a per (sog- 

 getta solo a passare n — 1 volte per e per le m intersezione di a con C) ('). 



Ora dunque preso un n abbastanza alto possiamo supporre che esista un monoide a 



co (?cyz) = 6 n _o (aoy) % -+- d n _ x {xy) = 



d'ordine n — 1, avente in il punto (n — 2) — pio e passante per C; inoltre esisterà 

 anche un monoide irriducibile <p, d'ordine n, 



<p' {xyz) = ip n _ x (xy) z -+- ip n {ooy) = 



con (11 — 1) — pio e passante ugualmente per C: allora si ottiene una trasforma- 

 zione monoidale d'ordine n avente la C come curva fondamentale e il punto come 

 centro, scrivendo : 



OC JO 



y =y_ 



(p (xyz) 



% 



a [xyz) 



Il sistema trasformante (omologo a quello dei piani di S') a cui appartiene <p è 

 il sistema lineare co 3 costituito da tutti i monoidi analoghi, tp, che hanno la stessa 

 intersezione con o. 



La trasformazione monoidale che abbiamo costruito possiede come curva fondamen- 

 tale, oltre la C, una curva residua d'ordine n (n — 1) — m, che sega i piani per 

 in 2n — 2 — m punti fuori di 0. Di questa curva residua fanno parte delle rette 

 per 0, cioè precisamente le corde di C passanti per il detto punto le quali avendo 

 (n — l) + 2 — «+1 intersezioni con i monoidi (p vi giacciono interamente. Le con- 

 dizioni che così vengono imposte ai (3 in rapporto ad una corda a, portano che a sia 

 in generale retta semplice per i <p; infatti, come si è detto sopra, si può ammettere 

 che un monoide (p, generale, seghi sopra un piano per a una curva composta della 

 retta a e di una residua curva d'ordine n — 1, passante perle intersezioni di C fuori 

 di a, e del resto arbitraria. 



(') L'esistenza di un monoide passante per la C fu già assunta da Cayley come base per la rap- 

 presentazione delle curve gobbe, e il fatto che i monoidi di un ordine n abbastanza elevato, passanti 

 n — 1 volte per e per la C, seghino sopra un piano per il sistema completo delle curve d'ordine 

 n con (n — ]) — pio e passanti semplicemente per le n iuterzioni con la C, si collega alle formule 

 di postulazione per le superficie, ottenute secondo la via di E n r i ques-Cas te 1 nuo vo . 



