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Studiamo anzitutto cu me T operi sulla retta a. Stante l' omografia che T subordina 

 fra le stelle e 0'., alla retta a per corrisponde una retta a per 0' (che si po- 

 trebbe riconoscere staccarsi dalla curva fondamentale F" del secondo spazio, ed essere 

 una corda della curva residua). Ora se si considera un piano generico a per « ed il 

 piano omologo a' per a, si ha fra a e a una trasformazione di De- Jo nqu i ères 

 d'ordine n — 1, per cui a e a non sono rette fondamentali: questa trasformazione di 

 De-Jonquières subordina fra a e a una proiettività. 



.Ma tale proiettività varia col piano à e, si ottiene così un fascio di proiettività 

 fra a e a. Invero pongasi che a sia l'asse z e scriviamo: 



a ~ n _ x {xij) z -+-#„_, (xy) ' 



dove ip n _ x (00) = ip n (00)=^ 0,1-a (00) = 0„._, (00) = 0; facendo qui y = Ano, divi- 

 dendo (p e a per a? e facendo x = 0, si trova s' espresso per % mediante una sosti- 

 tuzione lineare i cui coefficenti contengono linearmente A. 



Ora per due valori di A il determinante della sostituzione lineare predetta si an- 

 nulla, avendosi così una proiettività degenere fra a e a: questi due valori rispondono 

 a due posizioni del piano a per cui la trasformazione di De-Jonquières subodinata 

 da T viene ad avere un punto base semplice su a, cioè ai due piani a = a e a =oc„, 

 tangenti a C nei due punti A e A'., ove C incontra la corda a. 



Ma se ad A', risponde nel piano a ì tutta la retta a! , e, in un altro piano a, un 

 determinato punto A[ di a, si deduce che ad A ] risponde A[ in tutte le proiettività 

 del nostro fascio. Similmente ad A v risponde un punto fisso Al di a. Siccome poi 

 A, , A\ e A. 2 , Al, si possono definire in modo simmetrico come « coppie di punti omo- 

 loghi fisse » per il fascio di proiettività, si deduce che A[ e A\ saranno i punti di 

 appoggio della a corrispondente ad a, con la curva fondamentale C omologa a C. Queste 

 conclusioni si confermano notando die il sistema trasformante (<p) tocca in A, (o in A 2 ) 

 il piano fisso «' e però contiene co 2 superficie (p passanti doppiamente per A x , a 

 cui corrispondono i piani di una stella di centro A\ ; si ottiene una trasformazione qua- 

 dratica fra le stelle delle direzioni analoghe A e A\ , dove i coni quadrici osculatori 

 alle co 2 (p predette (che si vedrebbero passare per la tangente a C per a, e toccare 

 un piano fisso per questa retta) porgono il sistema trasformante della prima stella. 



Dopo ciò, passando ad esaminare i punti comuni alle curve fondamentali C e K, 

 diremo, per la stessa ragione, che ad uno di questi punti, B, risponde nella nostra 

 trasformazione T un punto fisso B' (ove s' incrocia la C' e K'); imperocché le super- 

 ficie (p del sistema trasformante hanno in B il piano tangente fisso, sicché vi sono 

 co 2 (p aventi in B un punto doppio: fra le stelle delle direzioni uscenti da B e B' 

 nasce pure una trasformazione quadratica (avendosi come sistema trasformante per B 

 quello dei coni che passano per la retta GB e per le tangenti a C e K). 



In tal guisa le circostanze particolari cui dà luogo una trasformazione monoidale T, 

 costruita assumendo ad arbitrio una curva C (priva di singolarità) come parte della sua 

 curva fondamentale, sono sufficientemente chiarite e precisate per quello che riguarda 

 il nostro scopo. 



