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§ 6. - Analisi delle singolarità di una superficie create da una 

 trasformazione monoida/e. 



Nel paragrafo seguente mostreremo come — mediante trasformazioni monoidali — 

 una superficie possa essere ridotta ad avere soltanto singolarità elementari ; a tale 

 scopo ci occorre ora esaminare quali siano le singolarità create da una trasformazione 

 monoidale T, che abbia come parte della curva fondamentale una curva C, singolare 

 per la superfìcie f che si trasforma. 



1. — Si consideri una superficie f, già ridotta, mediante trasformazioni quadra- 

 dratiche, ad avere solamente singolarità normali; la f possiederà, in generale, delle 

 curve multiple non a piani tangenti distinti, e per queste vi sarà un ordine massimo 

 di molteplicità: r. Sia adunque C una curva multipla di f, non a piani tangenti 

 distinti, aventi la suddetta molteplicità massima r. 



Sia T una trasformazione monoidale generica, avente la C come parte della curva 

 base r, la quale dunque si compone della C, di una curva residua K, e di un certo 

 numero di rette, a, corde della curva C. 



La superficie f, trasformata di /"mediante T, possiederà un punto multiplo isolato 0' , 

 centro della trasformazione monoidale inversa 7 7-1 , e le seguenti curve multiple: 



1) le trasformate delle curve multiple di f, diverse dalla C; 



2) le curve C' e K' omologhe delle intersezioni di f coi coni 0(C) e O(K); 



3) le rette a , corde della cuva C', passanti per 0' ; 



4) le rette b' , trasformate degli incroci di C con le altre curve multiple di f, 

 di molteplicità s ^> ?• , e quindi a piani tangenti distinti; 



5) le curve C\ (i = 1, 2 ., . . h), trasformate delle curve Ci, infinitamente vicine 

 alla C. 



A queste singolarità occorre aggiungere gli eventuali punti multipli isolati, R' , che 

 provengono dall'intorno di qualche punto R della C. 



Ci importa esaminare in particolar modo le curve dei tipi 2, 3, 4, che sole ap- 

 paiono come nuove curve multiple, effettivamente create dalla trasformazione T . e in 

 fine considereremo anche il punto 0' e gii eventuali punti R . 



2. — Si riconosce anzitutto che le due curve C e K' sono a piani tangenti 

 distinti, considerando la trasformazione di De- Jonq u ièr es che nasce fra due piani 

 omologhi passanti per e 0' : si vede così anche come in un punto P' di C' (o di 

 K') si ha coincidenza di due piani tangenti, quando la retta p, corrispondente a P' 

 tocca f fuori di C (o di E). 



Data l'arbitrarietà del punto 0, può supporsi che i punti cuspidali di C (e così 

 di K') siano punti cuspidali del second' ordine ordinari, per i quali le polari pure, L, 

 passano linearmente con direzione diversa da quella della C: ciò segue dal fatto che 



