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la T trasforma la polare di rispetto ad f, nella polare di 0' risfetto ad f', e quindi 

 la L relativa ad nella L relativa ad 0' : basta quindi che la L del punto non 

 sia tangente al cono O(C), ne al cono O(K), cosa che evidentemente può sempre sup- 

 porsi essendo generico il centro 0, della T. 



Si ha però coincidenza dei piani tangenti a due falde di C' o di K' ,. oltre che nei 

 punti cuspidali, in un punto P' per cui passi qualcuna delle altre curve multiple di /"', 

 e questi incroci verranno esaminati in appresso (u. 3). 



In secondo luogo vediamo la singolarità presentata dalle rette a', corde della curva 

 C' , che corrispondono alle corde a della C passanti per 0. Designando con N V ordine 

 della superficie f, ed essendo r la molteplicità della C, si ha che una retta a, corda 

 della C, incontra la f in i = N — 2r punti, i? , P . . . . P { fuori della C, a ciascuno 

 dei quali corrisponde per effetto di T l'intiera retta a: precisamente ai piani tangenti 

 ad /"nei punti P , P g , .'. . P t -, rispondono i monoidi <p , (p 2 . . . . (pi , passanti per a', 

 che approssimano le falde di f lungo questa retta. Supponendosi a una corda gene- 

 rica di C (e ciò. data V arbitrarietà di 0) le i falde di f per a riescono a .piani tan- 

 genti distinti; anzi una coincidenza di questi può aversi solamente in uno dei due punti 

 in cui la a incontra la C , oppure in 0' , giacche due superficie <fi, generiche, non 

 possono avere alcun contatto fuori dei punti per cui passa la curva base residua di a , 

 comune a tutte le <p. Ed esamineremo più avanti (n. 3) questi punti. 



Infine si creano ancora su f delle rette multiple b' , in corrispondenza ai punti 

 B ove la C, r — pia per /, incroci una curva M di molteplicità s = r -+- h (k >■ 0), 

 la quale risulta a piani tangenti distinti. Precisamente si vede che un piano passante, 

 per la retta t, tangente, a C in B, contiene h punti infinitamente vicini a B sopra i k 

 piani tangenti ad f che non contengono t, onde a B risponde su f una retta k — pia. 



Appare anche di qui che la b' è una retta multipla a piani tangenti distinti, veri- 

 ficandosi la nostra ipotesi che B sia un incrocio normale della C con la M, onde i /{ 

 piani tangenti ad f (e non contenenti t) sono fra loro distinti : a questi k piani cor- 

 rispondono altrettanti monoidi <p che approssimano la f lungo la C' . Si riconosce in 

 tal guisa che su b' non si presenta mai una coincidenza di piani tangenti fuori dei. 

 punti di incrocio di b' con la C e con la curva M', trasformata di M. 



3. — ■ Procediamo ora all'analisi degli incroci che si hanno nella superficie /"', 

 trasformata dalla f mediante la T, lasciando da parte il punto multiplo singolare 0' , 

 centro della T~ l . 



a) Si ha un incrocio, P', di 0' (o di K') con una curva Al' , trasformata di 

 una qualunque curva M, multipla di f, quando la retta p, che corrisponde a P', in- 

 contra la curva M. È anzitutto chiaro che per un tale incrocio non passano altre curve 

 multiple all' infuori della C' e della A/', le quali vi hanno tangenti diverse, potendosi 

 sempre supporre che il cono 0(6') incontri le curve multiple M in punti generici e distinti. 



Ci occorre di più riconoscere che, ove si supponga che la retta p incontri la f 

 fuori di C e M, in punti distinti, non riuscendo neppure tangente nei punti di appoggio 



Serie VII. Tomo Vili. 1920-1921. 5 



