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con C o M, V incrocio è normale; e a tale scopo basta far vedere che esso non abbassa 

 la classe delle sezioni [liane, non riuscendo così punto base per le polari pure. 



Questo fatto è messo in luce dalla trasformazione di D e- Jo nq u iè res che la T 

 subordina tra un piano a per p e il piano omologo per p = 0' P : questa mostra che 

 la sezione con a presenta in P la singolarità costituita da un punto (N — r) — pio 

 cui è infinitamente vicina la singolarità equivalente alla sezione di a con M, che a 

 sua volta è equivalente alla sezione generica di un piano con M' ; e poiché la C' è 

 una curva {N — r) — pia a piani tangenti distinti, si vede appunto che la sezione con a 

 presenta in P la singolarità limite, riunione delle singolarità che presentano le sezioni 

 di un piano generico nei punti in cui esso taglia la C' e la M'. 



Del resto si può riconoscere direttamente che per P non passano le polari pure, 

 osservando che la polare pura di (rispetto ad f) si trasforma nella polare pura di 0' 

 (rispetto ad f), sicché questa non passa per P ove la precedente non incida p. 



/?) Si ha un incrocio, P, di C con una curva C\ . trasformata di una curva C 1 

 infinitamente vicina a C, in corrispondenza ad una retta p che tocchi f in un punto 

 di C, incontrando ivi una curva C\ , infinitamente vicina a C. Qui si riconosce (come 

 nel caso precedente (mediante la considerazione di due sezioni piane fra le quali inter- 

 cede una trasformazione di De- Jonq u ières) che P è un incrocio normale. Occorre 

 però escludere che la retta p incontri ulteriormente una curva C,, (semplice o mul- 

 tipla) successiva a C t ; e tale ipotesi può effettivamente escludersi, operando eventual- 

 mente una trasformazione quadratica di seconda specie affatto generica, che allora una 

 retta incidente a 6' e C, non risulta in generale incidente a C,, . 



y) Si ha un incrocio, P , di C' e di A'' in corrispondenza a un incrocio, P, 

 di C e K. Per il punto P vanno a passare le curve C\ , trasformate delle curve Ci, 

 infinitamente vicine a C. Siccome le C], giacciono tutte sul cono 0' (C'), in P esse 

 sono tutte tangenti a un unico piano tangente al cono 0' (C) il quale piano non è tan- 

 gente alla K' ; di più si riconosce che le curve C[, hanno tutte, in P, tangenti di- 

 verse: infatti la trasformazione monoidale subordina una trasformazione quadratica fra 

 le due stelle di direzioni P e P, sicché — essendo diversi fra loro i piani tangenti 

 ad f in P e corrispondenti alle curve C,, egualmente diversi sono i piani contenenti 

 la tangente a A'' e alle C\. 



Il nostro incrocio dunque non é normale; ma esso non abbassa la classe delle se- 

 zioni piane, ove prossima a C non esista qualche curva (semplice o multipla) succes- 

 siva a una delle curve C;, e di questa satellite ('). 



E quest' ultima cosa si può riconoscere anche direttamente come nel caso a) osser- 

 servando che per P non passa, nella detta ipotesi, la polare pura dal punto 0' . 



3) La curva multipla C ha due incroci (A[ e A'. 2 ) con ciascuna della sue corde a , 

 che risultano pure rette multiple per f : per un siffatto punto d'incrocio, per es. J[, 

 passano anche le curve C\ . 



(') Per la definizione di prossimità e di satellitismo, èfr. Enriques-Ch is i n i : «Teoria geome- 

 trica delle equazioni » Voi. II, L. IV, §§ 5-7-8-13. Qui la curva satellite di C, -, dopo la trasforma- 

 zione, viene a trovarsi sul cono O(C'), infinitamente vicina a C,. 



