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Ma importa riconoscere che per A[ le C\, e la a passano con rami distinti e che 

 esse sono tangenti a un piano non tangente alla C in A[ . A tale oggetto si ponga 

 dapprima che l'ordine, N, di f sia il doppio della molteplicità r di C, sicché la mol- 

 teplicità di a per f valga k = N — 2r = , e quella di C' valga N — r = i-; 

 e si consideri un piano generico rì per a, cui corrisponde un piano, pure generico ti, 

 passante per una corda a di 0: fra questi piani la T subordina una trasformazione di 

 De-Jonquières d'ordine n — 1, regolare nei punti di a e di a' (fuori di e 0'), 

 e quindi anche nel punto A di a che dà origine ad A[. E importa notare espressa- 

 mente che i punti A ] e A[ non si corrispondono fra loro nella corrispondenza che viene 

 posta fra C e C quando a un punto di C si associ 1" intersezione di C' con la retta 

 omologa a detto punto, poiché, in questo senso ad A ì corrisponde Al (cfr. § 5, n. 3) : 

 segue da ciò che le curve C\ appartengono alle falde del cono ' (C) che proietta il 

 ramo di C' passante per A\, sicché esse, con la a', appaiono tangenti a un piano non 

 tangente a C' in A'. Per riconoscere poi che le loro direzioni sono distinte e diverse 

 di a , basta osservare che in A[ si hanno li piani tangenti distinti in corrispondenza 

 alle li curve C\, non contenenti la a, come mostra la sunnominata trasformazione di 

 De-Jonquières. 



Ora passando al caso in cui k >• , la singolarità che la f ha nel punto 

 (N — r) — pio A[, si può caratterizzare come quella relativa al caso precedente, ove 

 si aggiungano k = N — ■ 2r falde approssimate da monoidi per a e C' , e del resto 

 generici (tangenti fra loro in A\ e Al ma non alle altre falde della /"'), le quali li 

 falde corrispondono agli intorni delle h intersezioni distinte di a con f fuori di 0. 



Abbiamo dunque che l'incrocio A[ non è un incrocio normale; tuttavia si può rico- 

 noscere facilmente che esso non abbassa la classe delle sezioni piane, ove non esista 

 qualche curva (semplice o multipla) prossima a C e satellite di una delle curve C t - . 



e) Si consideri un punto P incrocio della curva C con una curva M di molte- 

 plicità r -)- k (h >_ 0) , a piani tangenti distinti, e si consideri dapprima il caso li = 0. 

 Al punto P viene a corrispondere un punto P' sulla Ai', per il quale passano le curve 

 C\ trasformate delle curve Ci, infinitamente vicine a C. Queste curve C\ appartengono 

 tutte al cono O'(C'), e importa riconoscere che esse passano per P' con tangenti di- 

 stinte. A tale uopo si osservi che P essendo un incrocio normale, i piani per esso se- 

 gano secondo una sezione la cui singolarità si compone di un punto r — pio cui segue 

 la singolarità presentata dalla sezione in un punto generico di C. 



Si consideri ora un piano rv per OP e il piano omologo, n' , per 0' P' , fra i quali 

 viene subordinata una trasformazione di De-Jonquières: questa mostra che la 

 sezione jt' presenta in P' la singolarità generica della sezione di C, cioè che in P' 

 si hanno h piani tangenti alla f, diversi, in col-rispondenza alle varie curve C\ : e poiché 

 questi sono tutti tangenti alla M' , segue che le C\ , hanno in P tangenti distinte. 



L' incrocio P' , qui considerato, non è dunque un incrocio normale, ma tuttavia non 

 abbassa la classe delle sezioni piane che vi passino, sempre — come negli analoghi 

 casi precedenti — ove non esistono curve prossime a C, satelliti di una delle curve 6\-. 



