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Dal caso h = , si passa facilmente al caso k >• , osservando che in questo si 

 aggiungono alla f, k falde secantisi lungo la M, a piani tangenti distinti, le quali 

 danno origine a h faide di f passanti per la M' , contenenti tutte la retta &' '== 0' P ', 

 e del resto generiche, le quali risultano non tangenti alla C' ne alle C\. 



£) Si hanno poi incroci di una curva H' , trasformata di una curva H di mol- 

 teplicità << i- a piani tangenti comunque coincidenti, con una o più curve 0' i; in corri- 

 spondenza ai punti comuni di H e C ; sulla natura di questi incroci non possiamo qui 

 dir nulla, dipendendo essi dalla natura della curva H. 



»p) Si riproducono poi su f gli incroci che si avevano in f in punti generici 

 rispetto alla trasformazione, e si riproducono invariati: 



4. — Il punto multiplo 0\ centro della trasformazione inversa T~\ richiede uno 

 studio particolare, essendosi considerate la curve multiple della f che vi passano 

 facendo astrazione da esso. 



E anzitutto chiaro che per il punto 0' passano: le curve C e K', corrispondenti 

 ai coni 0(0) e O(K), le trasformate delle curve multiple proprie di f. le C\, prove- 

 nienti dall'intorno della 0, le rette a', e le rette V. 



Essendo poi n l'ordine della trasformazione monoidale T, N quello della super- 

 ficie /", m quello della curva multipla C, ed r l'ordine di molteplicità di questa, il 

 punto 0' risulta multiplo per la f secondo N (n — 1) — rm. 



Riesce poi necessario per la nostra analisi, riconoscere che una trasformazione qua- 

 dratica di seconda specie S, che abbia in 0' uno dei suoi tre punti fondamentali iso- 

 lati, ne scioglie la singolarità: ciò va inteso nel senso che le curve multiple che vi 

 passano cessano di avere punti multipli, i trasformati su di esse del punto 0' risul- 

 tano punti di singolarità generica, e le nuove curve muliple create dalla 5 sono a 

 piani tangenti distinti e incrociano le altre curve in incroci normali. 



Ciò segue da alcune semplici osservazioni : 



a) L'intorno del punto 0' corrisponde biunivocamente al monoide a: fanno ecce- 

 zione i punti infinitamente vicini ad 0' , sopra i rami delle curve C' , K' e sopra le 

 rette a' cui corrispondono tutti i punti delle rette del monoide o passanti per 0. La 

 corrispondenza fra i punti dell'intorno 0' e le rette della stella che proiettano da 

 il punto omologo, di a è omografica. 



6) Nella trasformazione quadratica di seconda specie ( 2 ) al punto 0' corrisponde 

 un piano /? (determinato dalle due rette, g e d\ , corrispondenti, rispettivamente, la 

 prima al piano y dei tre punti fondamentali, e la seconda al piano d\ che da 0' 

 proietta la retta fondamentale); e si vede che fra i punti infinitamente vicini ad 0' 

 e i punti del piano /?, la corrispondenza è proiettiva. 



e) Trasformando f in una superficie f" mediante la trasformazione quadratica 

 di seconda specie S, all'inforno di 0' su f, corrisponde proiettivamente la sezione 



(') Cfr. Cap. I, § 2, ». 1. 



