— 37 — 



di f" col piano 3 (fuori delle rette singolari g e d\), come, similmente allo stesso 

 intorno corrisdonde proiettivamente la sezione di a con f (fuori degli elementi sin- 

 golari di a). 



d) Le curve C' , K' e le rette a passano per 0' con tangenti distinte, corri- 

 spondendo queste alle rette di a passanti per 0. Si consideri inoltre 0' sopra un ramo, p , 

 di C (e analogamente di K } o di una retta a'); ad' esso S fa corrispondere un punto 

 0" , per cui la C" , trasformata della C, passa semplicemente, la f" avendo in 0" la 

 singolarità di un punto generico di C", cioè un punto (N — r) — pio a piani tangenti 

 distinti. Ciò si riconosce osservando che il punto 0' su p, corrisponde a una retta del 

 monoide fi?, la quale intersecherà f (fuori della C) in N — r pùnti semplici e distinti : 

 i piani tangenti in due di essi corrispondono a due monoidi passanti per C' che si 

 trasformano, per la S, in due superficie passanti per C" e non tangenti in 0" . 



e) Rispetto ad un incrocio del tipo e), la considerazione dei piani tangenti alle k 

 falde della f, passanti per la curva M e non per la C, mostra che le rette b' ven- 

 gono trasformate dalla 5 in curve su cui il trasformato di 0' è affatto generico, e ciò 

 in modo del tutto analogo al caso precedente. 



f) Il monoide a sega le curve multiple di f, (quelle proprie e quelle infinita- 

 mente vicine a C) in punti affatto generici; come un generico monoide appartenente 

 al sistema trasformante fp: segue da ciò immediatamente che il piano 3 sega le curve 

 multiple di /"', trasformate di quelle di f, in punti di singolarità generica. Essendo 

 poi generici i due piani y e d, passanti per 0' , le due rette multiple g e d[ avranno 

 piani tangenti distinti, incroci normali con le altre curve multiple, e punti cuspidali 

 ordinari. 



5. — Un punto multiplo isolato R' , proveniente dall' intorno di un punto R della 

 curva C, si può avere solo ove R sia base per le polari pure (') e similmente solo in 

 questo caso si può avere un punto R' che sia ipermultiplo sopra una curva C[. Per 

 quanto si è visto alla fine del n. 3 del § 4, il punto R' può solo essere un punto 

 doppio, per la falda che lo contiene, e ciò nel caso che la curva r — pia C sia ori- 

 gine di una falda cuspidale del second' ordine, sulla quale R è un punto chiuso, dal 

 cui intorno proviene R[. 



§ 7. - Trasformazione di una superficie in un'altra dotata di singolarità elementari. 



Nel paragrafo precedente si è visto che la trasformazione monoidale T, la quale 

 abbia come parte della curva fondamentale la curva C, la cui molteplicità r è mas- 

 sima astraendo dalle curve a piani tangenti distinti, dà origine ad una superficie /"', 

 dotata di curve multiple, parte delle quali sono le trasformate delle vecchie curve 



(') Ogni altro punto dà una singolarità generica per la superfìcie. Cfr. la mia Nota letta a questa 

 Accademia il 22 febbraio 1920. 



