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multiple di f, e parte sono create dalla trasformazione T. Più precisamente le nuove 

 curve multiple prodotte da T, sono a piani tangenti distinti, e danno luogo ad incroci 

 normali, a quattro tipi di incroci non normali, corrispondenti ai casi y), Ò), e), £), e 

 a un punto multiplo 0', la cui singolarità può essere eliminata mediante una conve- 

 niente trasformazione quadratica di seconda specie, S. 



Ma mediante trasformazioni monoidali complementari della T, si possono sciogliere 

 anche gli incroci non normali dei tipi y), Ò) e e). 



1. — Per sciogliere un incrocio del tipo y), cioè un punto P' comune alle curve 

 multiple C' e K' , per il quale passano anche le curve C[ C'. 2 . . . . C,[ , si opera una 

 trasformazione monoidale, T Y , in cui è parte della curva fondamentale la K' (o per 

 dir meglio la sua trasformata mediante la trasformazione 5 riduttrice del punto mul- 

 tiplo 0'). Infatti la curva K' è a piani tangenti distinti, e su essa unici punti singo- 

 lari sono: incroci normali con le altre curve multiple, e punti cuspidali ordinari e 

 incroci non normali del tipo y : occorre però notare che la K' (dopo avere applicata 

 la trasformazione S) incrocia anche delle curve di molteplicità superiore alla sua (che 

 è N): queste curve sono le 4 rette omologhe ai piani fondamentali della trasforma- 

 zione S, le quali rette sono a piani tangenti distinti: tolti questi incroci non esistono 

 sulla K' altri punti ipermultipli. Pertanto applicando la T (che oltre la S'avrà una 

 residua curva fondamentale) si avranno soltanto nuove curve multiple a piani tangenti 

 distinti e ad incroci normali: dall'intorno di un punto P, incrocio del tipo y, non 

 nascono punti multipli di curve multiple, in quanto le curve C\, C'. 2 . . . . C' h passano 

 per P con direzioni diverse e non tangenti a un medesimo piano tangente a K' : ma 

 occorre anche riconoscere che il punto P' , omologo di P, sopra la trasformata di C' . 

 è un punto generico della C' stessa. Ciò è anzitutto chiaro nell' ipotesi che il punto P 

 non abbassasse la classe delle sezioni piane; ma anche nell'ipotesi che ciò accadesse, 

 essendovi infinitamente vicine a C due curve C, e C 2 di cui la seconda (semplice o 

 multipla) satellite della prima, il punto P' riescirebbe generico sulla trasformata di C' 2 , 

 giacche P abbasserebbe sì la classe delle sezioni piane, ma le polari pure L, aventi P 

 come punto base, apparterrebbero a quelle falde della superficie f che corrispondono 

 alle curve C, e C 2 , e non a quelle relative alla curva C' - 



Inoltre occorre osservare che la trasformazione T } , produce sì una nuova curva 

 multipla analoga alla K' ma su essa gli incroci del tipo v) sono incroci normali, 

 la K' non avendo infinitamente vicina altra curva multipla. Infine poiché la trasfor- 

 mazione monoidale T , crea un nuovo punto singolare nel centro della inversa TV 1 , 

 così questo verrà sciolto con una trasformazione quadratica ausiliaria 5, . avente come 

 punto fondamentale isolato il punto suddetto. 



In modo analogo si scioglierà un incrocio del tipo d), che è un punto di molte- 

 plicità 2iV — 3r, seguendo una trasformazione monoidale complementare T„, che abbia 

 come curva fondamentale (o parte di essa) la C', (o, per meglio dire, la sua trasfor- 

 mata mediante le trasformazioni precedenti) sulla quale il punto d'incrocio non è 



