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ipermultiplo. Anche qui si osserverà che le varie curve multiple passanti per il nostro 

 incrocio hanno direzione diversa e non giacciono in un piano tangente alla C , sicché 

 dell' intorno di C' non nascono nuovi incroci di curve multiple. 



Similmente essendo C a piani tangenti distinti, ed incrociando le altre curve mul- 

 tiple in incroci normali, si ha come unico punto di singolarità non normale il centro 

 della trasformazione inversa T^\ che si scioglie con' una trasformazione quadratica S„. 



In fine gli incroci del tipo e) si sciolgono in modo del tutto analogo ai precedenti, 

 e ci si garantisce di non creare nuove singolarità che poi si delibano ancora sciogliere 

 mediante le stesse osservazioni. 



La curva M', fuori dell'incrocio di tipo e) (che non è ipermultipto sopra la curva M') 

 ha solo incroci normali, ed è a piani tangenti generalmente distinti, coincidendo essi 

 solo in punti cuspidali ordinari. Si eseguisca allora una trasformazione monoidale T 2 , 

 clie ha come curva fondamentale la M' (o per dir meglio una sua trasformata mediante 

 le trasformazioni precedenti): poiché le varie curve multiple che passano per un punto P, 

 incrocio del tipo e) hanno ivi direzioni diverse e non sono tangenti a un medesimo 

 piano tangente a M' , così dall'intorno dell'incrocio non nascono punti multipli della 

 curva multipla; per di più il trasformato di P sopra la trasformata della M ' e della 

 C' riesce un punto generico, non base per le polari pure. 



Ciò è chiaro nell'ipotesi che, non essendovi satellifismo fra le curve infinitamente 

 vicine a C, il punto P non abbassi esso stesso la classe delle sezioni piane, e il fatto 

 si riconosce anche nel caso di tale satellitismo : essendo per es. C 2 satellite di C p 

 allora la polare L [lassante per P appartiene alla falda contenente C l e C,, e quindi 

 dopo la trasformazione potrà essere punto base per le polari il trasformato di P sopra 

 la trasformata di C[, ma non sopra la trasformata di Al' o di C' . 



Si osservi inoltre che le curve di molteplicità superiore a M' , incrociate da M' , 

 sono a piani tangenti distinti, sicché le nuove curve multiple, create dalla T %) sono 

 a piani tangenti distinti, e non nascono incroci non normali tranne, al solito, nel centro 

 della trasformazione monoidale 'T^\ che si elimina con una trasformazione quadratica 

 di seconda specie S 3 . 



Indicheremo con T c la trasformazione che si ottiene applicando alla superficie f la 

 trasformazione monoidale T, che ha come curva base la curva r — pia C, e le tra- 

 sformazioni complementari S, T , S ì , T s , S 9 , nonché tante coppie di trasformazioni 

 7 T 3 S 3 quanti sono gli incroci del tipo e) che si trovano sulla f, potremo concludere 

 dicendo che mediante la T c si rendono pròprie le curve multiple infinitamente vicine 

 alla curva G , e le nuove curve multiple create hanno tutte piani tangenti distinti e 

 punti cuspidali ordinali: gli incroci sono tutti normali meno quelli del tipo C) e quelli 

 inerenti ai vari incroci delle curve che erano infinitamente vicine a C e che si sono 

 rese proprie. E a queste singolarità occorre aggiungere i punti multipli isolati che pos- 

 sono, come le curve C[, C' 2 . . . . C' hì provenire dall' intorno di C. 



Ma degli incroci tipo C) e di detti punti singolari ci occuperemo in appresso. 



