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2. — ■ Osserviamo anzitutto che se la curva r — pia C, ha infinitamente vicina 

 una sola curva C l di ugual molteplicità r, la trasformata T c rende propria la C, . e 

 gli incroci del tipo £) restano in questo caso incroci normali di due sole curve mul- 

 tiple. Ora se la curva C aveva infinitamente vicine a — 1 curve r — pie, la sezione 

 piana ili un punto generico di essa presentando a punti r — pli infinitamente vicini, 

 la curva C avrà solo a — 2 curve r — pie infinitamente vicine. Pertanto mediante 

 successive trasformazioni ci possiamo ridurre ad una superficie per la quale le curve 

 di massima molteplicità r (escluse quelle a piani tangenti distinti) non abbiano infini- 

 tamente vicina altra curva r — pia. Ciò posto si consideri un incrocio /, del ti pò £) 

 incrocio della curva r — pia, 0, con una seconda curva ugualmente r — pia, Q, nes- 

 suna delle quali avrà, dunque, una curva r — pia infinitamente vicina. Distinguiamo 

 due casi : 



a) la sezione con un piano generico (e quindi con una superficie generica ad 

 esso tangente) per I presenta due e non tre punti r — pli successivi; 



b) tale sezione invece presenta tre e non quattro punti r — pli successivi, aven- 

 dosi lungo la C e Q falde cuspidali e un solo piano tangente (cfr. § 4, n. 1). 



Cominciamo dal primo caso: si eseguisca una trasformazione monoidale T ('), che 

 ha C come curva base, e poi una seconda trasformazione monoidale T' , che ha 'come 

 come base la Q', trasformata di Q mediante T: mediante il prodotto di queste due 

 trasformazioni nascono dall' intorno di I punti di molteplicità <C r. 



Infatti se P fosse un punto r — pio della superficie f" trasformata di /"mediante 

 il prodotto T' T, a un ramo generico di curva passante linearmente per P verrebbe 

 a corrispondere una curva passante linearmente per /, e non tangente a C ne a Q, 

 e una superficie avente con questa un contatto tripunto dovrebbe segare f secondo una 

 sezione dotata di tre punti r — pli infinitamente vicini, contro l'ipotesi. 



Passiamo al secondo caso. Lungo le curve C e Q la f avrà un solo piano tangente, 

 e infinitamente vicino ad esse vi saranno due sole curve C { e Q, , di molteplicità 

 rispettiva, v e r[, con r <* r,.r\ <^.r . * 



Si eseguisca su f la trasformazione monoidale T in cui C è curva base, poi la 

 trasformazione monoidale T' in cui è curva base la trasformata di Q' , e infine la 

 trasformazione T" in cui è curva base la trasformata di C . 



La T fa corrispondere ad f una superficie f, e ali" intorno di /su f, l'intorno di 

 un punto r — pio I' di f ; la T' fa corrispondere ad f una superfìcie /"", ed ali* in- 

 torno di r su f l'intorno di un punto r — pio 1" di f": infine la 7 1 " trasforma 

 la f" in /"", e siccome essa ha come curva base la curva trasformata di C 1 , di mol- 

 teplicità r <C r, all' intorno di /" corrisponde una retta di molteplicità r — r', per f". 

 E vogliamo riconoscere che su questa non vi è nessun punto P di molteplicità r. Ciò 

 si dimostra come nel caso precedente, giacche l'esistenza del punto r — pio P, porte- 



(') Qui, come nei casi analoghi seguenti si sottintende aggiunta la trasformazione quadratica 5 che 

 vale a sciogliere il punto singolare che sorge nel centro della trasformazione inversa T~ ì . 



