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rebbe che una superficie passante per I e non tangente a C o a Q, segherebbe la f 

 secondo una curva dotata di quattro punti r — pli infinitamente vicini. 



Si conclude che: eseguendo le trasformazioni monoidali che abbiano come curva base 

 la C e la Q, cui eventualmente si aggiunga, nell' ipotesi che alla C e alla Q sia 'pros- 

 sima una sola curva, rispettivamente C^ e Q [} la trasformazione monoidale che ha C { 

 come base, dall' incrocio ordinario delle due curve r — pie, C e Q, sorgono solo punti 

 di molteplicità minore di r. 



Passiamo ora al caso in cui la curva Q che incrocia la C abbia una molteplicità 

 s •< r. Poiché un piano per l' incrocio /, sega secondo una curva in cui non si barino 

 due punti r — pli infinitamente vicini, una trasformazione monoidale T che abbia la C 

 come curva base fa sorgere dall'intorno dell' incrocio I, punti di molteplicità <0'- 



3. — Nel numero precedente abbiamo trasformato gli incroci della curva r — pia C 

 con curve di molteplicità uguale o minore di r, considerando la superficie f limitata 

 all'intorno dell'incrocio in questione; vogliamo ora esaminare la nosti - a trasformazione 

 quando la superficie f sia considerata nella sua integrità. 



Siano dunque Q t Q 9 . . . . Q t le curve r — pie di f non a falde distinte, e non esista 

 prossima ad alcuna di esse, altra curva r — pia. e siano esse quelle di massima mol- 

 teplicità fra quelle non a falde distinte; inoltre siano M M 2 ....M p le curve multiple 

 a falde distinte di molteplicità r -+- h ■ (k ; !> 0). 



Indichiamo con T q la trasformazione analoga alla T c , definita al numero 2, essendo 

 la T qi presa relativamente alla curva Q : e similmente indichiamo con T qo . . . . T qt le 

 trasformazione relative alla Q . . . . Q t , o, per dir meglio, alle loro trasformate me- 

 diante le trasformazioni precedenti. 



Ciò posto si eseguiscono sulla f successivamente le trasformazioni T rji T q , . . . . T qt , 

 poi, se infinitamente vicina alla Q ( vi è una sola curva Q u (di molteplicità r, < r) si 

 eseguisca anche la trasformazione monoidale T\ che ha come curva base la Q (cioè 

 la sua trasformata), e a questa si aggiunga la trasformazione quadratica S' riduttrice 

 del centro della trasformazione inversa della T\; similmente, se del caso, si esegui- 

 scano le trasformazioni T' 2 , S[ , . . . . relative alla curva Q , . . . . che siano (come unica 

 curva) infinitamente vicine a Q„ , . . . . 



Lasciando per il momento da parte i punti /?', doppi per la relativa falda, che 

 possono nascere dall' intorno di punti chiusi, abbiamo che dall' intorno di una curva 

 r — pia C, sorgono soltanto punti di molteplicità minore di r, i quali però possono 

 essere punti di singolarità comunque complicata; le altre curve multiple sono a falde 

 distinte, o di moltiplicità minore di r, e ad incroci normali. Normalizzando poi mediante 

 trasformazioni quadratiche, le singolarità non normali, le quali provengono solo dagli 

 incroci delle curve G[ si arriva ad una superficie di tipo normale, per cui le curve 

 non a falde distinte hanno tutte una molteplicità minore di r. 



Ma ci occorre ancora esaminare gli eventuali punti doppi R', che nascono dall'in- 

 torno di un punto chiuso R della curva C. Il punto R sarà un punto base semplice 



Serie VII. Tomo Vili. 1920-1921. 6 



