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per le curve polari L, quindi un piano per esso segherà secondo una curva la cui 

 classe viene abbassata di un'unità. 



La curva polare L, apparterrà ad una falda cuspidale del secondo ordine, avente 

 per origine la curva C; ora considerando una sezione piana per R, la quale sega la 

 falda suddetta secondo un tacnodo formato dal punto doppio fi e da un altro punto 

 doppio i? ]5 cui corrisponde R' , si vede che non può accadere che per R' passi una 

 falda lineare della f, altrimenti R abbasserebbe la classe delle sezioni piane per più 

 di una unità; quindi il punto R' sarà un punto doppio isolato, o sarà la moltepli- 

 cità r, della curva C, maggiore di quella di R' , e ciò qualora C fosse origine di una 

 seconda falda superlineare passante per R' . 



Ora se R' è un punto doppio isolato, le curve polari devono passare per R' , con 

 due rami lineari distinti, poiché rispetto ad f, le polari passano per R con un ramo 

 non tangente alla curva C, origine della falda del secondo ordine f 1 ), onde R' appare 

 un punto conico (senza punti doppi infinitamente vicini), sicché una trasformazione qua- 

 dratica di seconda specie basta ad eliminare questo punto doppio. 



Qualora invece R' non fosse un punto multiplo isolato, riuscendo esso multiplo 

 d'ordine minore di r, non ci interessa la sua singolarità, poiché esso può essere elimi- 

 nato con trasformazioni quadratiche, dando origine a .curve multiple, a singolarità 

 normali, e con molteplicità ancora minore di r. 



Possiamo finalmente concludere. 



Con le trasformazioni indicate siamo riusciti ad abbassare il valore r, del massimo 

 ordine di molteplicità delle curve multiple a falde non distinte, passando da una super- 

 ficie f a singolarità normale, ad un'altra dotata ancora di singolarità solo normali, 

 onde, ripetendo il procedimento, si arriverà ad una superfìcie ancora a singolarità nor- 

 mali, per la quale inoltre tutte le curve multiple hanno piani tangenti distinti. 



Ricordando le caratteristiche delle singolarità normali, possiamo enunciare che: 



Mediante trasformazioni quadratiche e monoidali, una qualunque superficie f può 

 essere trasformata in un' altra f, priva di punti multipli isolati, e per la quale le 

 curve multiple sono a piani tangenti generalmente distinti. Su queste curve multiple 

 fanno generalmente eccezione : 



a) un numero finito di punti cuspidali ordinari semplici, nei quali si saldano 

 due falde lineari in una falda del secondo ordine ; per questi punti passano le curve 

 polari semplicemente e con direzione diversa da quella della curva multipla; 



b) un numero finito di incroci, in cui si tagliano due curve multiple diverse, 

 di molteplicità r e s {r^_s), avendovi tangenti distinte ; questi incroci non sono punti 

 base per le polari, e presentano la molteplicità r; un piano che contenga un tale in- 

 crocio, sega la superficie secondo una curva che presenta ivi un punto r — pio, cui 

 segue un punto s — ■ pio e poi s punti semplici e distinti. 



(') Si ricordi che in una trasformazione monoidale la superfìcie polare rispetto ad f del centro 

 si trasforma nella superficie polare del centro 0' rispetto ad f. 



