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ferità, normale della superfìcie F, occorre considerare i punti di una curva multipla C, 

 che riescono punti base per le polari pure L, le quali vi passano semplicemente e con 

 tangente diversa da quella della curva multipla. 



Qui conviene riprendere un risultato cui accennammo poco sopra: che « data una 

 finizione algebrica di due variabili, z = z(xy), le due parti della curva di dirama- 

 zione che s' incrociano (senza contatti) in un punto, corrispondono a due sostituzioni 

 permutabili sulle determinazioni della % » . 



Si indichi adunque con (1, 2) la sostituzione relativa alla curva L, polare del punto 

 all'infinito dell'asse z nell'intorno di un punto P; possiamo distinguere due casi. 



a) alla curva C corrisponde una sostituzione (eventualmente l'identità) che non 

 opera sulle determinazioni 1 e 2; in questo caso la C risulta una curva doppia per 

 la coppia di falde 1 e 2, e P un punto cuspidale nel quale si fondono le falde stesse, 

 una sezione per P presentando una cuspide (di specie a se le due falde hanno lungo 

 la C un contatto d'ordine a — 1); 



b) alla curva C corrisponde una sostituzione che si scinde nel ciclo (1 2) e in 

 altri (eventuali) cicli, non operanti su 1 e 2; in questo caso la C risulta origine di 

 una falda del secondo ordine (la falda 1, 2), e in questa il punto P appare come un 

 punto chiuso, una sezione per P presentando due rami lineari aventi fra loro un certo 

 contatto. 



§ 5. - Le trasformazioni monoidali. 



In questo paragrafo dobbiamo esaminare le trasformazioni monoidalli dello spazio, 

 che ci serviranno poi, nel paragrafo settimo, alla risoluzione della singolarità di una 

 superficie. 



1. — ■ La trasformazione monoidali T fra lo spazio, S^(xyz) e lo spazio S' ^={x'y'z') ; 

 mediante una scelta oppurturna delle coordinate, risulta definita dalle formule 



ry — — ry i /-y» ■ ry> 



(1) {y' = y invertite dalle (!') (V = V 



,__az-t-/? : ì dz — 



dove 



a 



yz -+- o \ yz — a 



== tyn-\ &y) , /? = Ì>n [ocij] , y = Q n _ % (xy) , d = n ^ {xy) , 



designano dei polinomi di ordine, rispettivamente^ n — 1, n , n — 2, ed n — 1 

 Si riconosce immediatamente che alle rette e ad i piani della stella 



se (x = , y = , 2 = ce) 



corrispondono proiettivamente le rette e i piani della stella 



& '={x' = Ó, y = , ;' = co): 



