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Ora si osservi che, nel nostro caso, P e P 2 sono le intersezioni C 1 e C 2 col piano a' 

 e che le sostituzioni 2,, 2 sono fra loro permutabili. Abbiamo infatti dimostrato, nel 

 nostro citato lavoro che «data una funzione algebrica di due variabili, zi=z{xy), 

 nell'intorno di un incrocio di due delle sue curve di diramazione (passanti per l'incrocio 

 semplicemente e con tangenti distinte) le sostituzioni dei rami della z, corrispondenti 

 alle due curve di diramazione, sono fra loro permutabili ». 



Segue da ciò che il prodotto 



n = n x n 2 . . . . n^ 



è funzione uniforme nell'intorno di P l e P 2 . 



Ora se d Y è l'ordine di infinitesimo della differenza z { — z^ nell'intorno di P, . và ì 

 sarà l'ordine di IT,, ma di più si riconosce che ^2;^, è l'ordine di infinitesimo di II, 

 cioè che tutti i prodotti FI, II 2 . . . . n^ hanno (nell'intorno di P l ) lo stesso ordine di 

 infinitesimo. Per dimostrarlo si consideri nello spazio a quattro dimensioni, immagine dei 

 punti reali e complessi del piano (icy), le due superfici T } e F 2 , corrispondenti alle 

 curve del piano (xy) proiezioni delle C, , C 2 , le quali sono, curve di diramazione per 

 la funzione z(a>y) definita dalla nostra superficie. Queste due superficie, T, e F 2 , avranno 

 a comune un punto / che corrisponde all'incrocio / della C x e C 9 . Si faccia muovere 

 il punto P sulla V' facendolo ritornare in se stesso dopo aver descritto un giro chiuso 

 avvolgente I e quindi la T 2 . Mediante questo giro il prodotto O, viene portato nel 

 prodotto I7 2 , e siccome il suo ordine di infinitesimo non può variare lungo questo cam- 

 mino, segue il nostro asserto. 



Similmente si riconosce che W è infinitesimo d'ordine fjivd 2 nell'intorno di P ? . 



Al limite, per P 2 =.P^ l'ordine di infinitesimo del prodotto Ti nell'intorno di I, 

 diventa v{i {d l -I- d 2 ) , e contenendo esso vji differenze (z, — Zk) , queste appaiono 

 appunto infinitesimi di ordine d 1 -\-d s , come nel caso in cui tale differenza fosse mono- 

 droma nell'intorno considerato. E con ciò il nostro teorema è dimostrato completamente. 



2. — Il risultato stabilito nel numero precedente si esteude al caso dell'incrocio 

 di una curva r — pia, G- , e una curva 0' — pia C 2 , con r >> s : allora la sezione con 

 un piano passante per l'incrocio presenta un solo punto r — pio, ove non sia prossimo 

 a C una seconda curva r — pia. La dimostrazione si fa come precedentemente, inter- 

 secando con un piano prossimo all' incrocio, avendosi così una curva dotata di un punto 



r(r— 1) 

 r — pio Pj e di un punto s — pio P . Delle - — differenze %i — z k ne esiste al- 



meno una che è infitesima d'ordine d } < 2 nell'intorno di P ed è finita nell'iutorno 

 di P 2 , sicché, quando (il piano passando per l'incrocio) P, viene a concidere con P, 

 la differenza (z t - — z^) resta infinitesima d'ordine d < 2 , onde si ha uno e non due 

 punti r — pli . 



3. — Sugli incroci delle curve multiple ci basta, per lo scopo che qui abbiamo 

 in vista, quanto è stato .detto sopra; ma per completare l'analisi dei punti di singo- 



