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Suppongasi dunque che lungo la C { non si abbia un solo piano tangente, ina due 

 (almeno). Si consideri un piano a, prossimo a passare per I: questo segherà C ] e C 

 in due punti P e P , e in P la curva sezione della superficie col piano a avrà almeno 

 due tangenti: siano, in generale, h tangenti, t , % ', % . . . . z^ ; potremo dividere le z 

 in h gruppi corrispondenti ai rami tangenti alle x suddette: 



siano 2 n z 12 . . . . le 2 tangenti a x x , 



2 21 2 22 le z tangenti a t 2 , 



2/jj Z] H .... le z tangenti a T/ t . 



Sia $ 2 il minimo valore degli infinitesimi fa — Z&) nell'intorno di P 2 : osserviamo 

 che esistono una 2,- ed una z^ appartenti a due linee diverse del quadro precedente, 

 tali che la differenza (2,- — Z/ £ ) sia precisamente infinitesimo di ordine d\ (nell'intorno 

 di P); perchè se ogni differenza così fatta avesse un ordine di infinitesimo d 2 > d „, 

 ne seguirebbe che anche la differenza relativa alle 2 di una medesima linea sarebbe 

 infinitesima d'ordine maggiore di d' 2 : infatti è, per esempio, 



; 11 Z \2 == ( 2 11 S 2l' ("'21 Z 12) ' 



e la differenza di due infinitesimi risulta di ordine maggiore od uguale a quello del- 

 l'infinitesimo d'ordine minore. 



Ora, se prossima a C 2 non vi è altra curva r — pia, sarà d 2 < 2 , e quindi la 

 differenza 2,- — z ft , quando P coincide con P 2 , è d'ordine 1 -\-d s <i'3 , sicché il piano a 

 passante per I sega secondo una curva che non ha tre punti r — pli infinitamente vicini. 



Il ragionamento si estende al caso in cui lungo la C x si abbia un solo piano tan- 

 gente: si scriverà ancora un quadro come quello di sopra, dove le 2 di due linee 

 diverse diano una differenza 2,- — 2# d'ordine minimo d , e quelle di una medesima 

 linea differenze d'ordine di infinitesimo superiore: si vedrà ancora che esistono una Zj 

 ed una z k appartenenti a due linee diverse, tali che la differenza 2j — %u abbia l'ordine" 

 di infinitesimo d l -\-d\, che risulterà minore di 4 se d 1 ■< 2 , ^ 2 < 2 , cioè se pros- 

 sima a Cj e a C 2 non v' è altra curva r — pia, onde la sezione di f con a potrà 

 presentare in / tre, ma non mai quattro punti r — pli successivi. 



In quanto precede abbiamo supposto che la differenza 2 Z - — zj t fosse monodroma 

 nell'intorno di P e di P, ipotesi semplificativa del ragionamento, ma affatto ecce- 

 zionale. Occorre quindi ora vedere come il ragionamento svolto si modifichi nel caso 

 generale in cui fa — 2^) sia polidroma. 



Indichiamo con B [ la differenza (2,- — 2*) e con D { D 2 . . . P v le v differenze in cui 

 questa si muta per la sostituzione 2, relativa al punto di diramazione u 1 . 



Posto poi 



n 1 = p I p 2 ....p v , 



si indichino con 



n,, n 2 , .... n„ 



i prodotti in cui FI, viene portato dalla sostituzione 2,, relativa al punto u 2 . 



Serie VII. Tomo Vili. 1920-1921. 4 



