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§ 4. - Analisi delle singolarità normali di una superficie. 



1. — Per poter procedere ulteriormente alla soluzione delle singolarità di una 

 superficie, occorre una conoscenza delle singolarità normali, alle quali ci si può sempre 

 ridurre mediante trasformazioni quadratiche. Qui ci importa anzitutto riconoscere che: 



« Se I" è un incrocio normale di due curve r — ple C e C u , un piano per 7 sega 

 la superficie secondo una curva che presenta in I due punti r — pli successivi, e non 

 più di due se infinitamente vicina a C o a C 2 non vi è altra curva r — pia-, fa ecce- 

 zione il caso in cui, C l e C 2 essendo origini di falde cuspidali, la superficie abbia un 

 unico piano tangente nei punti delle nominate curve multiple, che allora si potranno 

 avere tre, ma non mai quattro, punti r — pli per la sezione, sempre nell'ipotesi che 

 a C e a C 2 non sia infinitamente vicina altra curva r — -pia ». 



Per dimostrare questa proposizione conviene considerare quello che- accade per una 

 curva z = z(u), quando due suoi punti r — pli , P, e P, dati dai medesimi rami, 

 2j , % 2 ....z r , della funzione z, si avvicinino fra di loro. 



Siano u 1 ed u 2 le ascisse dei due punti P e P 2 : la differenza (z; — Z&) , per 

 i, A= l,2....r, sarà infinitesima di un certo ordine d ì , rispetto ad (u — u^j , quando 

 u tende ad u , ed analogamente di un certo ordine d 2 , quando u tende ad u 2 ; qualora 

 la differenza (z, — z k ) non sia monodroma nell'intorno di P, e di P, considereremo il 

 prodotto, jc (z{ — %k), di tutte le differenze analoghe in cui la {z t — z^) è portata dalle 

 due sostituzioni del gruppo di monodromia relative ad u ] e ad u 2 ; potremo dire che 

 quando P si avvicina a P 9 , senza che a P si accosti altro punto multiplo o punto 

 di contatto di tangenti parallele all'asse z (cioè in modo che la singolarità limite sia 

 puramente limite delle singolarità di P e di P 2 ), la differenza (z; — z k ), o, se questa 

 non è monodroma, il prodotto n (Z{ — z k ) , diventa infinitesima d'ordine d x -+- & 2 : il 

 che risulta chiaro osservando che i suddetti ordini di infinitesimo non sono altro che gli 

 ordini degli zeri della funzione (z t - — z^), la quale si annulla solo in corrispondenza a 

 punti multipli o a punti di contatto di tangenti parallele all'asse z. E conviene osser- 

 vare che se la differenza (z t - — Z&) non è monodroma nell'intorno del punto P (o di P,), 

 il prodotto jt (z,- — Zk) delle differenze in cui la data è portata dalle sostituzioni relative 

 al punto di diramazione u , si compone di fattori tutti infinitesimi di eguale ordine. 



Ciò posto notiamo che : condizione affinchè infinitamente vicino ad un punto 



r — pio vi siano altri n — 1 punti parimente r — pli, è che tutte le diffe- 

 renze Zi — Zk siano infinitesime di ordine n almeno: il che riesce ovvio considerando, 

 per es., la singolarità come riunione di n punti r — pli (e di altri eventuali punti 

 singolari). 



Vediamo ora come le considerazioni sopra esposte valgano a dimostrare il nostro 

 asserto: e a tale scopo cominciamo dal caso più semplice, in cui la differenza (:-,- — z A ) 

 sia funzione monodroma nell' intorno dei due punti P } e P 2 . 



