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P\) e del resto con direzione generica. Essendo f in posizione generica rispetto alla 

 trasformazione Q, si può supporre che la retta OP non abbia in P un contatto mag- 

 giore che le coniche suddette, onde la retta 0' P[ non risulta tangente al cono oscu- 

 latore in P\ alla f\ . 



Si conclude che la polare pura di 0' ha in P\ la stessa molteplicità che la polare 

 pura di un altro punto qualunque, e quindi il valore di p z=z iv — 5c — r (r — 1) 

 calcolato in base alla polare di 0', dà un valore maggiorante per il rango. 



3. — Abbiamo visto che la trasformazione quadratica di seconda specie lascia 

 invariate le singolarità dei punti della f che non appartengano a uno dei suoi quattro 

 piani fondamentali, crea quattro nuove rette n — pie a falde distinte dotate solo di 

 incroci normali e di punti cuspidali ordinari, e trasforma il punto singolare Pdi rango p 

 in una retta multipla, dotata di incroci ordinari o di punti singolari il cui rango p' 

 è minore di p, ove il punto P non sia un punto doppio a tangenti distinte per la 

 polare semplificata A (p = — 4, p = \ ; cfr. pag. 10). 



Pertanto ove si applichi successivamente la trasformazione quadratica di seconda 

 specie, la cui retta fondamentale passi per un punto singolare della superficie trasfor- 

 manda che non sia doppio a tangenti distinte per la polare semplificata A, e anche a 

 un punto siffatto che sia doppio per una curva multipla, si arriva a mutare la super- 

 ficie f in una superficie F a singolarità normali, sulla quale gli unici punti singolari 

 sono incroci normali di due curve multiple diverse ; o punti della curva multipla per 

 cui le L passano semplicemente e con direzione diversa da quella della curva multipla. 



CAPITOLO II. 

 Riduzione delle singolarità di una superficie 



mediante trasformazioni monoidali dello spazio. 



Nel capitolo precedente abbiamo dimostrato che, mediante trasformazioni quadratiche 

 di seconda specie, una superficie f può essere ridotta ad avere soltanto singolarità 

 normali ; in questo daremo una riduzione ulteriore delle superficie, usando di trasfor- 

 mazioni più generali, le monoidali, le quali permettono di sciogliere anche le curve 

 multiple: precisamente arriveremo ad una superficie F, dotata soltanto di curve mul- 

 tiple a falde distinte, sopra le quali come unici punti singolari si hanno incroci nor- 

 mali di due di esse, e punti cuspidali ordinari in cui due falde si saldano in una falda 

 cuspidale del second' ordine. 



