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ed è inoltre 



c<r, 

 sicché 



p — p' > 3r(r— 1) — 5r. 



Questa disuguaglianza mostra che per r >■ 2 , p — /?' > 0, e quindi il rango del 

 punto P, è minore del rango di P Ma si riconosce che è p> /)' anche per r = 2, 

 ove la A non passi per P con due rami lineari a tangenti distinte. Infatti ove ciò non 

 accada, la A avrà infinitamente vicino a P un solo punto, o semplice (essendo costi- 

 tuita allora da un ramo cuspidale) o doppio ; e si ha sempre 



c'^c+1, 



r' (>■'— 1) — 4(»', — 1).= 2 (r' = r 1+ 1), 



tanto per r = 1 che per ;• = 2, e quindi la disuguaglianza 



p — />' > 3r (r — 1) — e -+- e' — 4 (r, — 1) — 4r -+- r' (r 1 — 1) 



dà ancora, per r = 2 , 



p—p'>0. 



Aggiungiamo che si ha p — p' >> anche quando P, pur essendo doppio, a tan- 

 tenti distinte per la A, sia un punto singolare isolato, [essendo e = . Infatti in tale 

 caso si ha v = 2 , p = 6 , »' = 2 , e' = 1 . p' = l . 



Abbiamo così riconosciuto che il rango del punto P\ è minore del rango di P, 

 ove P non sia un incrocio normale o comunque un nodo per le A, ma dobbiamo ancora 

 dimostrare che il rango p' del punto P\ può effettivamente essere valutato mediante 

 la polare del punto 0', o che almeno così se ne ottiene un valore maggiorante. 



Per riconoscere questo fatto osserviamo che al variare del polo può aumentare, ma 

 non diminuire la valenza v del punto P[ per la polare totale, mentre il numero e dei 

 rami della curva multipla che passano per P', non muta, sicché essendo 



p — 4v — oc — r (r — J ) , 



si ha che il valore di p calcolato in base alla polare di 0' è effettivamente un valore 

 maggiorante, ove la polare totale di 0' abbia in P[ la stessa moltiplicità r (o mol- 

 teplicità non maggiore) che la polare totale di un punto generico. E che ciò accada 

 si riconosce immediatamente osservando che, al variare del polo, varia solo la polare 

 pura, e che se, per una posizione particolare H del polo, questa aumenta la sua mol- 

 teplicità, i piani per H e P\ segherebbero la f\ secondo curve aventi in P\ una sin- 

 golarità abbassante la classe più di quel che accada relativamente alla sezione con un 

 piano generico per P[, e quindi la retta BP\ sarebbe una generatrice del cono oscu- 

 latore ad f[ in P\, ed avrebbe quindi con f[ un contatto in P\ maggiore che le altre 

 rette per P\- Ora per la Q~' alla retta 0' P\ corrisponde la retta OP, mentre alle 

 altre rette per Pi corrispondono coniche passanti per P e tangenti al piano a di 

 equazione hy — hz = (essendo oc[ = hu[, z[ = ku[ , y\ = le coordinate del punto 



