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della sezione di f[ col piano %\ = . E si noti che nella polare totale di 0[ figura la 

 retta p[, omologa del punto P, la quale risulta una retta multipla per la f[. 



In base a questa osservazione possiamo dimostrare che il rango di un punto P[ 

 della retta p[ è minore del rango del punto P, supposto che P non sia un incrocio 

 normale (p = — 4), un punto cuspidale ordinario o un punto chiuso (p =. 1). 



Ammettiamo per il momento (cosa che dimostreremo in seguito) che il rango di 

 P[ si possa valutare in base alla polare del punto 0[, come il rango di P si può 

 valutare in base alla polare del punto che è generico rispetto alla f. 



Ricordiamo che il valore del rango del punto P è dato da 



p = Av — he — r (r — 1) , 



dove v indica la valenza propriamente detta (cioè relativa alla polare semplificata A) 

 del punto P, r la molteplicità di A, e, il numero dei rami della curva multipla; e 

 similmente il rango del punto P\ lo esprimiamo con 



p' ■= 4.V — he — r (r — 1 ) . 



La trasformata della A passi per P[ e per i punti ad esso infinitamente vicini, 

 sopra la p\ , con le molteplicità r r . ...r s : giacche passando da P a P\ si perde- 

 ranno e — (e — 1) rami di ordine >^ 1, sarà 



)\ + )' 2 + .... -hr s <r — [c— (e — 1)]. 



Questi punti P[ avranno per la A', polare semplificata di 0' , le molteplicità (r -+- 1), 

 (r 2 -|- 1) . . . . (r s -+- 1), in quanto la A' (nell'intorno di P\) si compone della trasfor- 

 mata di A e della retta p[. Quindi, tenuto conto delle cuspidi che si perdono nel pas- 

 saggio dalla, singolarità P della A alla singolarità P[ per la trasformata, si ha 



. v' < v — r (r — 1) -+-(ì\ -+- \)ì\ — ì\ (ì\ — 1) -+- 



[r. 



1) »*, — ''a (»% — 1) H- • • • ■ -+■ ( r s "+- 1) »', — »*, (»', — 1) ~ 



2 ' I 2 2^2 



r — v 



2 3 



cioè, per la disuguaglianza precedente, 



v < v — r (r — \) -\- r — (e — e -+- 1 ) -+- r . 



Facendo la differenza p — p' si trova 



P — p' > 4r (r — I) -4- 4 (e — e ■■+■ 1) — 4r — 4r, — 5c 

 — r (r — 1) -+- 5c' -+- r' (f' — 1) 



cioè 



ora e 



e quindi 



p' >Sr ■(»■— 1) — ch-c — 4 (rj —1)— 4r -+- r' (r — 1); 

 r' = r, ■+- 1 , r, > 1 , 



,.'(,.'_!)> 4(^—1), 



