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(in cui due falde lineari si riuniscono in una falda cuspidale del secondo ordine) e che 

 per questi le L [lassano con tangente diversa da quella della retta multipla, sicché il 

 punto infinitamente vicino su tale retta non risulta esso pure punto cuspidale. 



Al nostro scopo si faccia variare il piano re' in un fascio generico: al punto A', 

 sezione di ti con d\, corrisponde una retta a del piano d l , la quale varia in un fascio; 

 qualora f sia in posizione generica rispetto al piano d 1} le rette del suddetto fascio 

 die seghino f in due punti coincidenti, sono tangenti semplici a contatto bipunto, o 

 rette che vanno a punti della curva multipla; a una tangente semplice non è infinita- 

 mente vicina altra retta del fascio che intersechi secondo due punti coincidenti, e ad 

 essa corrisponde un piano che sega la f in A', secondo una sezione dotata di ramo 

 cuspidale in A[, mentre il piano infinitamente vicino sega secondo una curva che ha 

 nel punto infinitamente vicino ad A' (sulla d\) un punto n — pio a tangenti distinte. 

 Risulta così che su d\ ci sono solamente punti cuspidali ordinari. Lo stesso ragiona- 

 mento si può ripetere per la g ', con la sola variante che ai punti g corrispondono 

 in y le coniche di un fascio. 



3. — Dopo avere esaminato le rette multiple, omologhe ai piani fondamentali dello 

 spazio S, ed aver riconosciuto che in esse si hanno solo incroci normali e punti cuspi- 

 dali ordinari, ci occorre esaminare più da vicino la retta multipla p, che nasce dal 

 punto P, singolare per la f. 



Per i punti generici di questa retta abbiamo già visto che essi hanno la moltepli- 

 cità polare fj,, uguale a quella di P, e inoltre abbiamo visto che gli incroci di p con 

 le rette d\ , d\, d' 3) sono incroci normali (il cui rango vale dunque p = — 4): vo- 

 gliamo ora dimostrare che un punto singolare di p' , incrocio di un'altra curva mul- 

 tipla, o base per le polari pure L, ha un rango minore del rango del punto singo- 

 lare P, ove questo punto non sia un nodo per le polari semplificate A. Per arrivare 

 al nostro risultato osserviamo che un punto P' della retta p' , ha lo stesso rango che 

 il punto P\ , suo omologo per la trasformazione Q, — QT~ 1 , la quale è regolare nel- 

 l'intorno di P' . Ci basterà dunque riconoscere che un punto P[ , proveniente dall'in- 

 torno P mediante la trasformazione quadratica di prima specie Q, e generico sopra la 

 retta p\, omologa di P in Q, ha per la f\, trasformata di f mediante Q, un rango p' , 

 minore del rango p del punto P. 



Per valutare il rango p' , dovremo esaminare il comportamento in P[ delle polari 

 rispetto ad f\ : ricordando le formule che danno la trasformazione quadratica Q. si ha 

 che la superficie f\ ha l'equazione f\ {x\y\z\u\) — f[oa' 1 z' 1 , y\z[, oo\y\, u\z\) e la (super- 

 fìcie) polare rispetto ad f[ del punto Oi = (0001) risulta 



Ciò significa che la polare del punto 0[ si compone della trasformata della polare 

 del punto O = (0001) e del piano z[ = , e quindi la polare totale del punto 0\ 

 rispetto ad f\ si compone della trasformata della polare totale di rispetto ad f, e 



