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/?) Nel medesimo modo si vede che l' incrocio di d\ (o di un' altra d') con una 

 curva C', trasformata di una curva s — pia di f, è un'incrocio normale. Possiamo 

 infatti supporre che il piano d l incontri la C in punti semplici, generici, distinti, e 

 non allineati col punto (0010); allora la d[ incontrerà la C' in punti per i quali questa 

 passerà semplicemente, e con tangente diversa dalla d\. Ma occorre anche vedere che 

 per un tale incrocio, I' , non passano le curve polari L. 



A tale scopo si indichi con a la molteplicità di C per la polare totale, cioè la 

 molteplicità polare dei suoi punti; anche la curva C' sarà s — pia per f, e o — pia 

 per la polare totale rispetto a f : per mostrare che I' è un incrocio normale della C' 

 e della retta n — pia d\, basterà riconoscere che /' ha, per la polare totale, la mol- 

 teplicità a -+- n (ìi — 1), cioè che un piano per I' sega secondo una curva che ha. in /' 

 una singolarità che ne abbassa la classe esattamente di a -+• n (n — 1); sicché /', 

 avendo tale molteplicità per la polare totale per la quale d\ è n(ii — 1) — pia, non 

 riuscirà base per le L. Sia dunque it un piano passante per /' ; ad esso corrisponde 

 una quadrica K secante la C in un punto /, omologo di /' appartenente al piano d l , 

 e la sezione di K e f in I ha una singolarità che ne abbassa la classe di 0", e una 

 uguale singolarità appare anche ove si proietti la sezione sul piano jz dal punto (0100). 

 Inoltre la retta i, omologa di I' , incontra la f fuori di /, in altri n — s punti distinti. 

 Ora si vede che la trasformazione Y trasforma la sezione di f con re in modo che al 

 punto /', corrispondono n — s punti semplici, e un punto s — pio la cui singolarità 

 abbassa la classe di a, il quale punto è la proiezione di un punto sezione di K e C, 

 sicché la molteplicità polare di /', risulta appunto a -+- n (n — I). E ugualmente 

 segue che è normale anche un incrocio di C' e di g . 



y) Analogamente si riconosce che è incrocio normale il punto G\, comune a d[ e 

 g : infatti facendo passare il piano 71 per il punto G[, la trasformazione quadratica T, 

 viene ad avere due punti fondamentali infinitamente vicini ritmiti in G\ , la loro con- 

 giungente riuscendo la retta t, sezione di ri col piano d[ g : la T trasforma l'intorno 

 di G\ in n punti distinti, sezioni di f con la retta comune ai due piani d\ e y. Si 

 riconosce così che la sezione con ti' ha in G\ una singolarità abbassante la classe di 

 2ii (ìi — 1), essendo costituita da due punti n — pll infinitamente vicini. G\ ha dunque 

 la molteplicità polare 2n (n — 1), ed essendo comune a due curve n (n — 1) — pie 

 per la polare totale, risulta incrocio normale. 



Ancora in questo stesso modo si vede che è incrocio normale il punto P\ comune 

 a p e a d\ . Infatti sia (_i la molteplicità polare di P: a un piano per l'asse oc corri- 

 spondendo proiettivamente per la T un altro piano, si ha che un punto generico di p 

 (appartenente alla superficie trasformata f) ha parimente la molteplicità fi per la po- 

 lare totale (di /"'), e occorre riconoscere che P\ ha invece la molteplicità fj, -+- n (n — 1). 

 A tale oggetto si seghi con un piano rì passante per P\ ; la T trasforma l'intorno 

 di P\ in n — ;• punti semplici e in un punto r — pio abbassante la classe di (x, onde 

 appare che a -+- n (n — 1) è appunto la molteplicità polare di P\ . 



d) Ci restano da esaminare i punti di d[ (e così d' 2 e d' 3 ) e di g , in cui coinci- 

 dono due dei piani tangenti ad f[, per mostrare che essi sono punti cuspidali ordinari 



