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singolare di f, diminuisce il rango del punto P, ove questo non sia un punto doppio, 

 a tangenti distinte, della polare semplificata A, avendosi allora per il rango i valori 

 minimi: — 4 (incrocio normale di due curve multiple) e 1 (punto semplice di una 

 curva multipla che risulta base per le polari pure). 



2. — Sia dunque data una superficie f(xyzu) = d'ordine n, dotata di singola- 

 rità qualsiansi, e sia P un suo punto singolare, r — pio, che collocheremo in un punto 

 generico della retta fondamentale di T, cioè nel punto di coordinate 



x =l!iu, y = % = . 



Eseguiamo ora la trasformazione T; la superficie f verrà mutata in un' altra 

 f (x ìj z' lì) = , d'ordine 3n , di cui dobbiamo esaminare le singolarità. 



Si osservi anzitutto che la trasformazione T è regolare nei punti dello spazio 

 S = (xyzu) , che non appartengono ai quattro piani d l} d 2 , $ 3 , y, di guisa che le sin- 

 golarità di /^esterne a questi piani, si riproducono invariate: precisamente punti sem- 

 plici si trasformano in punii semplici, punti singolari isolati in punti singolari isolati, 

 e curve multiple in curve multiple di eguale molteplicità: inoltre resta invariato il 

 rango dei punti singolari. Invece la trasformazione T crea quattro nuove rette n — pie, 

 cioè le rette d\, d' 2 , d' 3 , e g' , omologhe dei quattro piani d l} c? 2 , d 3 , y, e una retta 

 r — pia, p' , corrispondente al punto r — pio, P. 



Per le nuove quattro rette n — pie importa riconoscere le seguenti circostanze: 



a) Esse sono a piani tangenti generalmente distinti : 



fi) I loro incroci con le trasformate delle curve multiple di /"sono incroci normali, 



per cui passa — oltre la retta multipla una sola curva multipla con tangente 



diversa dalla retta, e non riescono base per le curve polari L; 



y) similmente sono incroci normali i punti: G\ , G'. 2 , G 3 , e P\ , PÒ, P' 3 , in cui 

 le d\, d[, d' s incontrano rispettivamente la g e la p 1 ; 



d) all' infuori dei suddetti incroci, gli unici punti delle d e della g, in cui coin- 

 cidono i piani tangenti alla f, sono punti cuspidali ordinari, cioè punti in cui coinci- 

 dono due soli piani tangenti, la sezione generica con un piano per essi presentando 

 una cuspide. Questi punti cuspidali ordinari sono punti base per le L, ma queste vi 

 passano con tangente diversa da quella della curva multipla. 



a) Per riconoscere la prima circostanza mostreremo che un piano generico ti' di S' 

 taglia la d\ in un punto 0' che risulta n — pio a tangenti distinte. Infatti a ti' corri- 

 sponde per la 2 1-1 una quadrica K segata dal piano # (fuori dell'asse a?) in una retta, 

 o, la quale può essere supposta intersecare la f in n punti distinti: pertanto ove si 

 consideri la trasformazione quadratica T (incontrata al n. 2 del § 2) intercedente fra 

 n e ti , si vede che questa trasforma in n punti distinti, e poiché questa trasfor- 

 mazione ha in uno dei suoi tre punti fondamentali distinti, risulta chiaro I* asserto. 

 La stessa T mostra che sono punti n — pli a tangenti distinte le intersezioni di ti' 

 con d' s e g' , e una trasformazione analoga mostrerebbe la stessa cosa per l' intersezione 

 con la d' . 



