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 Si trova che la trasformazione Q, e la sua inversa Q,~ l =. TQ~ l risultano definite 



dalle formule 



x x = (y — z ) z t x = u x (s, — x 



o - - ; 2/' = x y -*-y u — z u o-i ) y =s °i z i 



h = y (y — * ) ■ ]«=* 



f r ^f r f i i ti 



'j OG *) , l Xv ■ y?] W| %t\ o i . 



Si vede così che la trasformazione Q è una trasformazione quadratica di prima 

 specie, la quale, nello spazio S' , ha come curva fondamentale la conica degenere di 

 equazioni y — z' =. , x' y' = , e come punto fondamentale un punto infinitamente 

 vicino al punLo x' = — u' , y = 0, 3'-— 0, avendosi quivi come piano tangente a tutte 

 le quadriche trasformanti il piano x = . 



Ciò posto si consideri un punto P generico sopra l'asse x, di coordinate x = hu, 

 y = z = ; la T trasforma P nella retta p' di equazioni: 



r 7 r r 7 r i t 



y =. — nu , 3 = — «a? — hu , 

 e la Q trasforma lo stesso punto nella retta P[, di equazioni: 



x\ = hu\ , 2/1 = 0. 



Così la trasformazione Q, trasforma 1' una nell'altra le due rette, ed è regolare per 

 tutti i punti di p' che non giacciono sui due piani x' = , y — z' = 0., i quali proiet- 

 tano la conica fondamentale dal punto fondamentale, il secondo dei quali coincide col 

 piano della conica stessa. 



Possiamo pertanto enunciare che : 



A meno di una trasformazione regolare, le due trasformazioni quadratiche Q e T, 

 trasformano nello stesso modo l'Intorno di un minto P, giacente sopra una retta fon- 

 damentale per entrambe, nel senso che al punto P corrispondono due rette, e fra gli 

 intorni dei punti omologhi di esse si ha in generale una trasformazione regolare. 



§ 3. - Riduzione delle singolarità puntuali mediante trasformazioni quadratiche. 



1. — In questo paragrafo vogliamo mostrare come, mediante trasformazioni qua- 

 dratiche di seconda specie, una superficie f possa trasformarsi in un'altra F, di tipo 

 normale, i cui punti singolari hanno per il rango i due valori minimi le — -4, riu- 

 scendo punti doppi, a tangenti distinte, per la polare semplificata : si arriva così a 

 una superficie in cui mancano i punti multipli isolati, le curve multiple non hanno 

 altri punti singolari che incroci normali, per cui passano due curve multiple (e non 

 rami di una medesima curva multipla) con tangenti distinte, e punti base per le polari 

 pure, L, per cui queste passano semplicemente e con direzione diversa da quella della 

 curva multipla. Arriveremo al nostro risultato in base all' osservazione che una trasfor- 

 mazione quadratica di seconda specie, T, la cui retta fondamentale passa per un punto P, 



Serie VII. Tomo Vili. 1920-1921. 3 



