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Poiché il piano rc[ è proiettivo al piano re' , si ha che fra quest' ultimo e re [ove 

 si considerino come omologhi un punto A' di ti e la proiezione su jt — fatta dal centro 

 (0100) — del punto A di K corrispondente ad A' per la 2 1-1 ], intercede una trasforma- 

 zione quadratica, Y, che ha come punti fondamentali in re' le sue intersezioni con le 

 tre rette d\ , d'%, g . (Il fatto che le tre rette d[, d'.,, d' 3 , non figurino qui simmetri- 

 camente, dipende dalla scelta del centro da cui la K viene proiettata sul piano ri). 

 A questi tre punti corrispondono in re tre rette, che si riconosce immediatamente essere 

 le proiezioni delle rette intersezioni di K coi piani Ò\, d 3 e y, le intersezione di d x e 

 d 3 essendo considerate fuori della retta y = z = . 



3. — Vogliamo ora confrontare la trasformazione quatratica T, con la trasforma- 

 zione quadratica di prima specie, la cui conica fondamentale si spezzi nell'asse a; e in 

 una retta residua. 



La trasformazione quadratica di prima specie Q che faccia corrispondere i piani 

 dello spazio S\ = (x\ y\ z\ n\) alle quadriche dello spazio S passanti per il punto (0010) 

 e per la conica spezzata negli assi x e y, può essere rappresentata dalle equazioni 



x\ = xz ico-=x x z x 



( y ] = yz invertite dalle Q' 1 = \ y = y \ Z \ 



u[ = nz \ u = u\ z\ . 



Giova in particolare notare : 



1) Alle rette passanti per il punto x = y = z r=~ corrispondono rette passanti 

 per il punto x\ = y[ = z[ = , e fra le due stelle intercede una trasformazione qua- 

 dratica che ha come rette fondamentali gii assi, x, y, z. e rispettivamente x\. y[, z[; 



2) A un punto P dell' asse oc, di coordinate x = hu, y = z = , corrisponde 

 la retta p[, rappresentata dalle equazioni 



x[ = hu\ , y[ = 0; 



3) A una retta passante per un punto P[ (della retta p[) di coordinate 



y[ = 0, x\ = hu\ , z[ = ku[ , 



la quale retta è rappresentata quindi dalle equazioni 



x[ = ay[ — hu\ , z[ = py\ -+- ku[ , 



corrisponde la conica di equazioni 



x z= ay -+- hu , xy = @yz -+■ kuz , 



la quale passa per il punto P ed è quivi tangente ad una retta variabile del piano 

 hy = kz . 



Per confrontare la T e la Q, consideriamo la trasformazione prodotto Q, = QT' 1 , 

 la quale trasforma lo spazio 5' nello spario Si . 



