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0'.,P 2 , 0^P 2 , O3-P3, possono essere supposte generiche, anche rispetto alla polare sem- 

 plificata, il che importa che la retta 0[ P (e similmente le altre) non appartenga alla 

 congruenza 2" delle tangenti alla f incidenti alla curva multipla di questa, ne alla 

 congruenza 2'" delle corde di detta curva multipla; le quali ipotesi si escludono nello 

 stesso modo con cui si esclude che la retta 0[ P^ appartenga alla 2 e alla 2'. 



E poi chiaro infine come, essendo e ed r invarianti per la T, anche il rango, p 

 risulti invariante. 



§ 2. - La trasformazione quadratica di seconda specie. 



1. — Dovendosi nel seguito usare della trasformazione quadratica di seconda specie 

 per sciogliere le singolarità puntuali di una superficie, ricorderemo in questo paragrafo 

 le particolarità di tale trasformazione: inoltre confronteremo la trasformazione quadra- 

 tica di seconda specie con la trasformazione quadratica di prima specie, a conica fon- 

 damentale riducibile, per riconoscere come esse operino in modo sostanzialmente identico 

 nell'intorno di un punto appartenente alla curva fondamentale. 



Si ottiene una trasformazione quadratica di seconda specie, T, la quale trasformi 

 lo spazio S = (xyzu), definito dalle coordinate omogenee x, y. z, u, nello spazio 

 S' = (x' y z' u'), definito dalle coordinate omogenee x , y , z' , u' , facendo corrispondere 

 proiettivamente i piani dello spazio S' alle quadriche dello spazio 5 passanti per una 

 retta fondamentale e per tre punti fondamentali il cui piano non contenga la retta. 



Se si assume come retta fondamentale la retta y = z == ', e come punti fonda- 

 mentali i punti (0100), (0010), (0111), la trasformazione T e la sua inversa possono 

 essere definite dalle formule 



tx'=(y — z)u tas — (y' — z) y' z 





T = | v =c °y T -i = ] y = y~ ( x ' -+-«*') — 



_ \ z' = xz ~ 1 z = y z (oc ->r- u') - 



f 1 1 



y z u 



- z' 2 u' 



yv! =y (2 — u) , \u = x' y z 





E conviene particolarmente osservare che ai piani 





d di equazione y = , d[ di equazione 1/ = vi = 



d„ di equazione s = 0, d' di equazione z' = x' -+- u' = 



«, ,. . corrispondono le rette T . , , 



o 3 di equazione y — z = 0, d 3 di equazione x -=y — ; =0 



y di equazione x=0, g di equazione y'=s,' = 0; 



le tre rette d[, d' 2 , d' 3 , e la g' risultano rispettivamente direttrici e generatrice della 

 quadrica 



Q' 2 di equazione x y'-+- y' v! — z u' = . 



La trasformazione T subordina una omografia fra i due fasci di piani aventi per 

 sostegni gli assi x e x' , ed anche un'omografìa fra i punti dei piani omologhi. Al 



