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Poniamo infine 



Si lia evidentemante x = oc, y s = y', z^ = z'.; onde segue 



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 T = T T T • 



d'altra parte la trasformazione T ] muta la stella di centro L = (« = 1/ = , z = ce) 

 nella stella di centro 0),^ [a? ^= y. == 0, z[^oc); la T muta la stella di centro 

 2 = (x ] =z % = , t/j = ce) nella stella di centro 0' 2 ^h (a? = z 9 = , 2/ = ce) ; e 

 la T s muta la stella di centro 3 = (?/ 2 -= z 9 == , a? 2 = co) nella stella di centro 



Os = (y 8 = h = ° » ;v 3 = c °) • 



In secondo luogo si indichi con /" la trasformata di f mediante T ' con f 9 la tra- 

 sformata di f mediante T 9 e con f 3 ==f' trasformata di f 9 mediante T , cioè la tra- 

 sformata di f mediante T; e con P ì} P 9 , P 3 = P' i trasformati del punto P. Si vede 

 allora che — ove ad f si sostituisca una sua trasformata mediante un'omografia gene- 

 rica che abbia P come punto unito — i centri O i , 0[; 9 , 0'.,; 3 , ()' 3 , possono 

 essere supposti generici rispetto le superficie f, f , f 9 , f , per quanto riguarda la 

 determinazione della valenza del punto P. 



Ora è chiaro che il punto è affatto generico rispetto ad f, ma tale appare anche 

 il punto 0[ rispetto ad f . 



Anzitutto infatti la 0\ P x può supporsi non appartenere al cono osculatore ad f in P , 

 giacche la T subordina un'omografia fra i coni osculatori alla f ed alla f x in Pe P . 



In secondo luogo si può anche supporre che la retta 0[ Pi non appartenga alla 

 congruenza 2 delle bitangenti ad f : infatti alle rette dello spazio {oo y z^ corrispon- 

 dono per la T^ 1 certe curve C dello spazio {xyz), e alla congruenza 2 della bi tan- 

 gente ad f corrisponde la congruenza 2 delle C bitangenti ad f x , e una C passante 

 per P ed appartenente a 2 (cioè limite di una bitangente propria) cessa di essere 

 ancora tale, ove ad f si faccia subire un' omografia generica che lasci fermo P. E 

 similmente si riconosce che la retta 0[ P x non appartiene alla congruenza 2' delle 

 tangenti principali ad f . 



Lo stesso ragionamento vale a provare che anche la retta 2 P, può essere supposta 

 generica, e così via le] altre rette '0' 2 P 9 , 3 P 2 , 0'. ò P 3 . In fine si osservi che la 1\ 

 trasforma la polare rispetto ad f del punto 0, nella polare rispetto ad f x del punto 0, , 

 onde appaiono riferiti proiettivamente i coni che ha detti punti proiettano le loro polari 

 pure (almeno nell'intorno di P e P). Questi punti essendo generici rispetto alla valu- 

 tazione della valenza io{P) rispetto alla polare pura, segue che questo carattere è uguale 

 per P e per P x . Similmente esso è uguale per P e per P 9 e per P 9 e P S = P. Si 

 conclude che la trasformazione T muta P in un punto P' perciò è io(P') = w(P). 



Nello stesso modo si dimostra che v(P') = v(P), cioè che la valenza propriamente 

 detta di P eguaglia quella di P'. Infatti basterà riconoscere che le rette 2 P 1 , Oó P, , 



