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la curva multipla di contatto, C, contata una volta. Dovremo quindi escludere, per la 

 valutazione di v(P), quei punti 0, per i quali la proiezione della polare L e della curva 

 multipla C, risultano fra loro tangenti in P, ed anche quei punti per cui la proie- 

 zione della C acquisti in P una singolarità ulteriore; in altre parole dovremo esclu- 

 dere che la retta OP appartenga alla congruenza, 2", delle rette tangenti ad f ed 

 incidenti alla C, nonché a quella, 2'", delle corde di C. 



Adunque ogni punto dello spazio che non appartenga al cono osculatore alla f in P, 

 ne ai coni formati dalle rette per P appartenenti alle congruenze 2, 2', 2", 2'", e 

 così pure la relativa polare semplificata, possono essere considerati generici rispetto 

 alla valutazione della valenza di P. 



5. — Importa ora riconoscere che: 



II rango di una singolarità P è invariante per una trasformazione birazionale 

 dello spazio, regolare nell'intorno di P. 



Essendo il rango p dato da p = 4v — he — r (r — 1) cominciamo a dimostrare 

 l'invarianza della valenza di P; e precisamente, essendo la polare semplificata rispetto 

 cui si vuluta la valenza v(P) composta della polare pura e della curva multipla, con- 

 verrà anzitutto dimostrare l'invarianza della valenza io(P) relativa alla polare pura. 

 E tale dimostrazione si svolge come segue. 



Si riconosce anzitutto che una trasformazione birazionale T, regolare nell' intorno di 

 un punto P=(000), può essere decomposta nel prodotto di tre altre trasformazioni, 

 T l , T 2 , T 3 , regolari nell'intorno di P e dei suoi trasformati, ciascuna delle quali 

 muta una stella di piani in une stella di piani ad essa proiettiva. Infatti sia la T 

 definita dalle formule 



/ x' = (p ì {xyz) 

 T = ly' = $ s {xyz) 

 [ z' =(p 3 (xgz), 



dove <p x , (p 2 e cp z sono funzioni razionali fratte che si annullano "per x = y = ; = 

 senza riuscire indeterminate. 

 Poniamo 



/ x x = x 



T i = ] Ki = y 



[ z x = f 3 (xyz), 



ed indichiamo con <p 2ì (x { y { z y ) la funzione trasformata mediante la T di (p (xyz). 

 Poniamo in secondo luogo 



/ x 2 = x x 



ed indichiamo con <p ]2 {x y 2 z 2 ) la trasformata di <fi {xyz) mediante il prodotto T T . 



