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4. — Conviene ora fare un'osservazione circa il modo di calcolare la valenza ?u(P) 

 di un punto P rispetto alla polare pura, e similmente la valenza v(P) rispetto alla 

 polare semplificata. Nella definizione della valenza io(P) rispetto alla polare pura, si 

 parla di polare (pura) di un punto generico, 0; occorre riconoscere ora che è generico 

 un punto tale che la retta OP non appartenga al cono osculatore in P, o alla con- 

 gruenza, 2, delle tangenti doppie o a quella, 2', delle tangenti principali alla superficie f. 



Sia dunque un punto tale che OP non appartenga al cono osculatore in P, ne 

 alle due sunnominate congruenze (liberate s'intende dalle eventuali stelle, quali P), 

 ed L la sua polare pura; sia inoltre H un punto generico dello spazio ed L la sua 

 polare pura: dovremo dimostrare che la generatrice singolare OP del cono O(L ), abbassa 

 la classe di esso come la generatrice HP abbassa la classe del cono H(L). 



A tale scopo si osservi anzitutto che quando H tende ad 0, non può accadere che 

 una generatrice cuspidale del cono H(L), dotata di un contatto tri punto con la f, tenda 

 alla OP, il punto di contatto tendendo a P, ne — similmente — che vi tenda una 

 generatrice doppia (bitangente alla f) i cui due punti di contatto si riuniscano in P: 

 ciò perchè le generatrici cuspidali e le generatrici doppie del cono H(L) appartengono 

 rispettivamente alle suddette congruenze 2 e 2'. 



In secondo luogo si vede che, se la generatrice singolare OP abbassa la classe del 

 cono 0(L), di un numero h maggiore di quello relativo alla HP per il cono H(L) — la 

 singolarità della OP essendo valutata in relazione alle falde del cono 0(L Q ) che proiet- 

 tano i rami di L Q passanti per P — quando il punto H tende ad 0, dall'inviluppo 

 proprio dei piani tangenti al cono H(L) si stacca, al limite, il fascio OP. E ciò è una 

 immediata conseguenza dell' osservazione precedente, la quale esclude appunto che la 

 generatrice OP sia limite di una generatrice cuspidale o di una generatrice doppia, il 

 cui abbassamento per la classe del cono 0(L Q ) figuri nel numero li. 



In terzo luogo si supponga che H tenda ad lungo la retta OH: in questo pas- 

 saggio i piani del fascio HO tangenti al cono H(L), e quindi alla L, in punti sem- 

 plici di L, non variano essendo i piani tangenti alla f condotti per la retta HO; segue 

 che il piano HOP, ove non sia tangente alla L in P, non può essere limite di un 

 piano tangente al cono H(L). Pertanto se, al tendere di H ad 0, dall'inviluppo dei 

 piani tangenti al cono H(L) si stacca il fascio OP, il piano HOP è tangente in P 

 alla L. Ma poiché tutti i rami della L per P devono essere tangenti al cono oscula- 

 tore alla f in P, non può il piano HOP (per qualunque H) essere tangente alla L, ove 

 non sia OP una generatrice del suddetto cono osculatore. 



Si conclude così che, quando OP non appartiene al piano osculatore in P, ne alle 

 due congruenze 2, 2', l'abbassamento della classe del cono 0(L Q ), dovuto alla gene- 

 ratrice singolare OP, è uguale a quello che la generatrice HP produce per il cono 

 H(L) circoscritto ad f da un punto H generico: è chiaro infatti che tale abbassamento 

 non può essere minore per il punto particolare che per il punto generico H. 



Volendo passare ora alla considerazione della valenza v(P) propriamente detta, 

 basterà osservare che la polare semplificata si compone della polare pura cui si aggiunge 



