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E poiché la curva multipla per P si trasforma nelle curve multiple per P' , segue 

 die anche le molteplicità della polare pura e della polare semplificata sono invarianti 

 per trasformazioni regolari. 



3. — Ma la molteplicità delle curve polari in un punto P è un carattere che 

 tiene conto solamente dell'intorno del prim' ordine, mentre per lo studio delle singo- 

 larità avremo bisogno di considerare anche gli intorni successivi. Pertanto introdurremo 

 due altri caratteri relativi alla singolarità della superficie f nel suo punto P. 



Suppongasi che il punto P sia base per le polari pure L: una polare generica, 

 proiettata dal relativo polo sopra un piano generico per P, dà origine ad una curva 

 piana, per la quale P sarà un punto singolare abbassante la classe di un certo numero: 

 questo numero lo chiameremo valenza del punto P rispetto alla polare para, e lo indi- 

 cheremo con io (P). 



Poiché il cono che proietta una L dal relativo polo, 0, non è altro che il cono 

 circoscritto alla f dal polo 0, si ha che la tu (P) e l'abbassamento della classe del 

 cono ciscoscritto da un punto generico 0, prodotto dalla generatrice singolare OP. 



Per es. un punto doppio conico ha la valenza 2, invece un punto doppio unipla- 

 nare, nel quale le polari L hanno una cuspide, ha la valenza 3 (almeno in generale). 

 Invece un punto per cui le L passino semplicemente ha la valenza zero. 



Come si è definita la valenza di P rispetto alla polare pura, può definirsi la 

 valenza di P rispetto alla polare semplificata, carattere che chiameremo brevemente 

 valenza di P e l'indicheremo con v(P); la valenza di P è dunque l'abbassamento che 

 la singolarità della generatrice OP produce sulla classe del cono O(A), che da proietta 

 la polare semplificata A relativa al polo 0. 



Per esempio la valenza di un punto conico vale u = 2, quello di un punto cuspi- 

 dale della curva multipla è v = 2, quella di un punto triplo della curva multipla 

 è v ■=■ 6 . 



Accanto alla valenza di un punto singolare P conviene definire un altro carattere 

 che tenga conto delle curve multiple che passano per P: indicando con v la valenza 

 di P, con r la' molteplicità della polare semplificata A, con e il numero dei rami 

 (lineasi o no) della curva multipla, definiamo come rango del punto P il numero: 



p = 4» — 5c — r (r — 1) : (') 



per un incrocio di due curve multiple si ha 



v=2, c = 2, r = 2, p = — 4; 



per un punto cuspidale della curva multipla si ha 



y = 2, c== 1, r = 2, p==l. 



(') I caratteri ed i coefficienti che entrano a formare il rango sono scelli* in modo che il rango 

 (ji un punto P si possa abbassare mediante trasformazioni quadratiche, la cui curva fondamentale passi 

 per P, ove questo non sia doppio a tangenti distinte per la polare semplificata. Cfr. § 3, n. 3. 



