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Per determinare la singolarità della sezione ài f e S in P, proiettieinola sul piano 

 3 = dal punlo all'infinito dell'asse z : otteniamo una curva K ài equazione 



K=f{ccyW{ocy)) = 0; 



e dovremo valutare l'abbassamento della classe di K, dovuto alla singolarità P. 



Per la curva K, e rispetto la sua singolarità in P, possiamo supporre generico il 

 punto all'infinito dell'asse y, onde il numero in questione è quello delle intersezioni, 

 assorbite in P, di K e della sua polare 



ÒK _ Y OfòW_ 

 òy òy òz oy 



cioè il numero delle intersezioni delle tre superfici 



Y t y W 

 f{xyz) = , -f -+- -'- — = , z = ■*• (xij) . 

 oy òz òy 



Similmente (la polare totale del punto improprio dell'asse z avendo in P la moltepli- 

 cità h almeno) P ha almeno la molteplicità h per la intersezione delle tre superficie: 



f(xyz) = 0, ^ = 0, z = W(xy), 

 òz 



e quindi molteplicità maggiore di h per l'intersezione delle superficie 



Y Ì> X Y 

 f(xijz) = 0, -± — = 0, z = V(xy) 

 òz òy 



òW . 

 giacché =r — si annulla per x = y = . 



oy 



Segue che la superficie 



Y Y <*V 



oy òz oy 



sega sulla curva f(xyz) = 0, z = 1 ì?{xy), un gruppo di punti che contiene P con- 

 tato h volte, essendo essa combinazione lineare di due superficie, per la prima delle 

 quali il punto P ha la molteplicità d' intersezione h, e per la seconda una molteplicità 

 maggiore di h • ciò significa appunto che le tre superficie, 



f(xyz) = 0, -^-+--^^ = 0, z — W(xy), 

 oy dz òy 



hanno, in P } h intersezioni riunite, essendo h la molteplicità della polare totale generica. 



Dall'osservazione fatta segue che: La molteplicità della polare totale in impunto 

 P, singolare di f, è invariante per trasformazioni regolari nell'intorno del punto. 



Infatti una trasformazione regolare che porti il punto P in P fa corrispondere alle 

 sezioni piane per P, sezioni con superficie passanti per P con piano tangente generico. 



Serie VII. Tomo Vili. 1920-1921. 2 



