essendo y=1ib i x l Io sviluppo in serie della proiezione della curva multipla nell'in- 

 torno del punto considerato. 



2. — Se P è un punto singolare, multiplo per f, la curva C, sezione con un piano 

 generico passante per P, presenterà in P una singolarità che abbasserà di un certo 

 numero h la classe della C, h essendo il numero delle intersezioni, assorbite in P. di 

 C e di una sua polare generica. 



Si riconosce subito che questo numero h, che chiameremo molteplicità polare del 



punto P, non è altro che la molteplicità in P della curva A, polare totale di un punto 



generico. Ciò dipende dal fatto che la superficie polare è il luogo delle curve polari 



rispetto alle sezioni piane passanti per il relativo polo; ma di questo conviene dare 



una verifica analitica. 



Sia dunque 



f {xyz) = 



l'equazione della superficie, P = (000) il suo punto singolare, e 



z = 



l'equazione di un piano generico per P. La C ha l'equazione 



C = f(xyO) = 0, 



e la polare di un suo punto generico, quale può essere supposto il punto all' infinito 

 dell'asse y, è 



ac = Yfoj/0) ==0 . 



ùy ~òy 



il numero h è quindi il numero delle intersezioni, riunite in P, delle tre superfici 



poiché la curva intersezione delle prime due superficie è la A, polare totale del punto 



all'infinito dell'asse y, si ha che il numero h è precisamente la molteplicità della A in P, 



ove si escluda che il piano : = sia tangente ad essa. E ciò si esclude osservando 



che l'asse y può essere supposto non tangente in P alla f, e quindi neppure alla A, 



sicché 2 = 0, piano generico per questo asse, non riuscirà tangente alla A. 



Ma si ha di più : la moltiplicità, h, che ha in P la polare totale generica, dà 



l'abbassamento della classe, dovuto al punto P, anche pei' la curva sezione di f, con 



una superficie S, la quale passi per P, semplicemente e con piano tangente generico. 



Sia 



z — 2 a ik x l y k = ^ (xy) 



lo sviluppo in serie che dà lo sviluppo della superficie S nell'intorno del punto P: 

 potendosi supporre che sia z == il piano tangente ad S, la serie comincerà coi ter- 

 mini di secondo grado (almeno) in x a y (complessivamente). 



