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Ma ditte queste operazioni che riuscirebbero abbastanza semplici ove si operasse 

 solo nell'intorno di un punto, riescono molto complicate quando si debba tener conto 

 della superficie nella sua integrità, la trasformazione monoidale generando nuove curve 

 multiple e incroci non normali di queste. 



Tuttavia, aggiungendo ad ogni trasformazione monoidale un certo numero di trasfor- 

 mazioni complementari, quadratiche e monoidali, atte ad eliminare le singolarità create, 

 e scegliendo convenientemente le successive curve multiple, sulle quali si deve operare, 

 si arriva infine al risultato richiesto: e qui non conviene parlarne più a lungo trat- 

 tandosi non di idee direttrici ma di avvedimenti tecnici che il lettore potrà vedere 

 paratamente ove essi sono posti in atto. 



CAPITOLO I. 



Riduzione delle singolarità puntuali di una superfìcie 



mediante trasformazioni quadratiche di seconda specie. 



§ /. - Le singolarità di una superficie e le curve polari: caratteri di un punto singolare. 



1. — Si considera come punto singolare di una superficie algebrica 



fixyz) = 0, 



un punto multiplo per la superficie stessa; un tale punto può essere isolato, oppure 

 appartenere a una curva luogo di punti multipli: in ogni caso un punto singolare di f 

 appartiene a tutte le sue superficie polari. 



Il sistema lineare ce 3 delle superficie polari, sega sopra la f un sistema lineare 

 co 3 di curve polari : ove la superficie abbia delle curve multiple, queste figurano, 

 ciascuna contata un conveniente numero di volte, come componenti fìsse delle curve 

 polari. Per chiarezza e comodità di espressione chiameremo: polari totali, le curve 

 sezioni di f con le sue superficie polari ; polari pure, o anche semplicemente polari, 

 le polari totali spogliate delle (eventuali) parti fisse; polari sempli ficaie, le polari totali 

 in cui ciascuna curva multipla sia contata una volta sola, cioè le polari pure cui si 

 aggiungano le curve multiple. Indicheremo con L le polari pure, con A le polari totali, 

 e con A. le polari semplificate. 



Vengono considerati come punti generici di una curva multipla, i punti, semplici 

 per questa, che non appartengano ad altra curva multipla e che non riescano base per 

 il sistema delle polari pure: ciò perchè nell'intorno di un punto generico della curva 

 multipla si hanno, per la superficie, una o più falde, ciascuna rappresentabile mediante 

 uno sviluppo in serie di Taylor (per le falde lineari) o uno sviluppo in serie di 

 Halphen per le falde superlineari : per una falda di ordine v, si ha: 



| z = 2 2 ff^ x l t k , 



\ x =. x , y ■=. f' -+- 2 bi x l , 



