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trasformazione monoidale, che della singolarità della superficie sulla quale si opera, 

 singolarità che è già stata ridotta a tipo normale. 



Per l'esame degli incroci normali di due curve multiple, e per quello dei punti 

 della curva multipla che riescono base per le curve polari, ci serviamo di un teorema 

 relativo alla curva di diramazione di una funzione algebrica di due variabili, stabilito 

 in un precedente lavoro ( 1 ). Questo teorema dice che le due sostituzioni sopra i rami 

 di una funzione algebrica z ■==■:% (ocy) relative a due curve di diramazione che si taglino, 

 senza oscularsi, in un punto, sono nel!' intorno di tale punto, permutabili fra di loro. 

 Si' arriva in tal modo a riconoscere che: 



1) un punto della curva multipla che sia base per le curve polari è un punto 

 cuspidale, in cui si saldano due falde lineari in una falda del secondo ordine, o un 

 punto chiuso appartenente ad una falda del secondo ordine; 



2) un incrocio, I, della curva multipla è tale che, se per esso passano due curve 

 di uguali moltiplicità r che non abbiano infinitamente vicina un altra curva r-pla, un 

 piano per / sega secondo una curva dotata di due e non tre punti r-pli infinitamente 

 vicini; fa eccezione il caso in cui lungo entrambe le curve si abbia uri solo piano 

 tangente, nel qual caso la sezione può presentare tre ma non mai quattro punti r-pli 

 infinitamente vicini. Se poi per l'incrocio passano due curve di moltiplicità diversa, 

 e quella di molteplicità maggiore, r; non ha, infinitamente vicina a sé, altra curva di 

 eguale molteplicità, ia sezione con un piano per I presenta un solo punto r-plo.' 



La conoscenza di questi fatti permette di sciogliere facilmente la singolarità della 

 superficie, considerata nell'intorno di un qualunque suo punto. 



Anzitutto è chiaro come si possa sciogliere l'intorno di un punto generico di una 

 curva multipla, mediante trasformazioni monoidali che abbiano come curva base la curva 

 stessa e le sue trasformate; ma più diffìcile riesce la risoluzione di un incrocio di due 

 curve multiple di egual molteplicità, r. 



Per questo ci si riduce anzitutto al caso che infinitamente vicina ad una delle due 

 curve non esista altra curva r-pla; poi si applicano due trasformazioni monoidali che 

 abbiano come curva base rispettivamente le due curve r-ple, e si riconosce che dal- 

 l' intorno dell' incrocio (le sezioni con piani presentando due soli punti r-pli) nascono 

 punti la cui molteplicità è inferiore a r; nel caso poi in cui le sezioni per l' incrocio 

 presentassero tre e non due punti r-pli successivi, occorre aggiungere una terza tra- 

 sformazione avente come curva base la trasformata dell'unica curva infinitamente vicina 

 a una delle due curve incrociantisi. Così, da un incrocio di due curve r-ple, e simil- 

 mente da un incrocio di una curva r-pla con un'altra di molteplicità s < r, nascono 

 punti e curve di molteplicità inferiore ad r, onde diminuendo 1' ordine delle curve mul- 

 tiple si arriva infine a sciogliere la singolarità. 



Il caso del punto cuspidale, non presenta difficoltà alcuna, e dal punto chiuso può 

 nascere solo un punto doppio, facilmente risolubile con una nuova trasformazione quadratica. 



(') « Sugli incroci della curva di diramazione di una funzione algebrica di due variabili » Rendic. 

 dell'Accademia dei Lincei, 15 febbraio 1920. 



