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punto singolare sopra la retta fondamentale della T ': al punto viene ancora a 

 corrispondere una retta multipla, e per l'esame della singolarità dei punti di questa, 

 giova l'osservazione fondamentale, che la trasformazione di seconda specie T, avente 

 la retta a come fondamentale, e la trasformazione di prima specie Q, che possegga la 

 retta a come parte della sua conica fondamentale, operano ugualmente nell'intorno di 

 un punto generico della retta a, differendo per una trasformazione regolare; ciò nel 

 senso che a un punto P , infinitamente vicino a un punto P di a, la T e la Q fanno 

 corrispondere rispettivamente un punto P^ e P/', fra gli intorni di quali viene subor- 

 dinata una trasformazione regolare, onde identiche appaiono la singolarità che abbia 

 ih P' la superficie f, trasformata della f mediante T, e quella che abbia in Pj" la 

 f", trasformata mediante la Q ( 1 ). 



In base a questo concetto riesce agevole eliminare le singolarità puntuati della 

 superficie f mediante una successione di trasformazioni quadratiche di seconda specie, 

 che risultano in numero finito. A tale scopo definiamo anzitutto un carattere numerico 

 di un punto singolare P, che chiamiamo rango: nella formazione di questo carattere 

 numerico figurano la singolarità del punto singolare P per il cono circoscritto alla f 

 (cioè la singolarità della curva polare), la moltiplicità e la singolarità di P per la 

 così detta polare semplificata (intersezione della superficie con una polare, in cui le parti 

 multiple vengano contate una sola volta), e il numero dei rami della curva multipla. 

 Il rango gode della proprietà di restare inalterato per una trasformazione regolare nel- 

 l'intorno del punto, e di diminuire invece per una trasformazione quadratica la cui 

 curva fondamentale passi per il detto punto singolare. Quindi mediante queste si può 

 trasformare la superficie data f in un'altra di tipo normale, per i punti singolari della 

 quale il rango ha il valore minimo; questi punti singolari normali risultano semplici 

 per la polare pura (se a questa appartengono) e nodi per la polare semplificata, cioè : 



a) punti doppi della curva multipla, intersezioni di due componenti diverse, per 

 cui non passano le curve polari (incroci normali); 



b) punti semplici della curva multipla per cui passano le curve polari sempli- 

 cemente e con direzione diversa da quella della curva multipla (punti cuspidali o punti 

 chiusi come vedremo poi). 



3. — Essendo pervenuti così ad eliminare le singolarità puntuali della superficie, 

 riducendola a possedere solamente curve multiple e su queste punti singolari ben defi- 

 niti, si può procedere alla risoluzione delle singolarità costituite dalle curve multiple 

 infinitamente vicine alle curve multiple proprie. Qui soccorre il concetto fondamentale, 

 dovuto a Del Pezzo, di trasformare la superficie mediante successive trasformazioni 

 monoidali che abbiano come curva base una delle curve multiple della superfìcie: ma 

 per attuare tale concetto è necessaria un'analisi minuziosa ed approfondita, sia della 



(') La considerazione di trasformazioni equivalenti trovasi in B. Levi « Sulla riduzione delle sin- 

 golarità puntuali.... » (Annali di Matematica, 1897) e « Sulla trasformazione dell'intorno di un punto.... » 

 (Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino, 1899). 



