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b) punti cuspidali ordinari, in cui due falde lineari della superficie si fondono 

 in un'unica falda del second' ordine : per un tale punto le curve polari passano sempli- 

 cemente e con direzione diversa da quella della curva multipla. 



Riassumeremo qui, per comodità del lettore, la via seguita per giungere alla con- 

 clusione enunciata, cercando di render conto delle ragioni che hanno suggerito il nostro 

 procedimento. 



2. — Poiché la superficie f può presentare tanto curve multiple che punti mul- 

 tipli isolati o punti di singolarità straordinaria appartenenti alle curve multiple, si 

 presenta conveniente cominciare dallo sciogliere le singolarità puntuali della superficie, 

 che è quanto viene fatto nel primo capitolo del nostro lavoro. 



Volendo generalizzare naturalmente quanto si fa per le curve piane, sembrava ovvio 

 usare di una comune trasformazione quadratica di prima specie, Q, e collocare nel 

 punto singolare, 0, che si voleva sciogliere, il punto fondamentale isolato della tra- 

 sformazione. Così 1' intorno del punto singolare veniva trasformato in una curva, sulla 

 quale tuttavia potevano esservi ancora nuovi punti singolari a cui si sarebbe dovuto 

 applicare di nuovo la trasformazione; occorreva quindi ricercare un carattere numerico 

 che, diminuendo mediante la Q, garantisse che la serie delle trasformazioni da usarsi 

 riuscisse finita. E, procedendo per analogia col caso delle curve piane, era ovvio ricer- 

 care questo carattere della singolarità 0. nel comportamento delle superficie polari, o 

 delle curve polari loro intersezioni con la f. 



Ora accade che la curva polare, L, relativa a un polo preso sul piano della conica 

 fondamentale della trasformazione quadratica, si trasforma sì sostanzialmente nella curva 

 polare di un punto analogo, ma alla trasformata di L occorre aggiungere una parte 

 che giace sul piano fondamentale e che proviene dall'intorno del punto 0, i cui punti 

 appartengono virtualmente alla L: così che, mediante una tale trasformazione può acca- 

 dere che la singolarità della polare aumenti invece di diminuire ( l ). 



Si riesce tuttavia ad eliminare tale difficoltà collocando il punto sopra la conica 

 fondamentale della trasformazione Q (e conviene prendere la conica spezzata in due 

 rette), sicché da esso nasca una retta multipla, le curve polari trasformandosi allora 

 sostanzialmente nelle curve polari. Tuttavia poiché la Q fa corrispondere al piano della 

 conica fondamentale un punto, in questo nasce per la superficie trasformata, f, una 

 nuova singolarità di natura complicata ( 2 ). 



Ma si evita questo secondo inconveniente ricorrendo ad una trasformazione qua- 

 dratica di seconda specie, T, la quale non crei punti multipli isolati, e collocando il 



(') Un chiaro esempio di ciò e offerto dal punto cuspidale, 0, di una curva doppia; per le curve 

 polari passano semplicemente mentre, trasformando, dall'intorno di nasce un punto doppiò per il 

 quale le curve polari passano doppiamente! 



( 2 ) Come abbiamo notato nella nota di pag. 3, ci si potrebbe risparmiare l'esame delle singo- 

 larità create dalla trasformazione ove ci si limitasse a considerare trasformazioni birazionali della super- 

 ficie e non dello spazio ambiente. 



