LA RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ DI UNA SUPERFICIE 



MEDIANTE TRASFORMAZIONI OIRAZIONALI DELLO SPAZIO 



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MEMORIA 



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I>ott. OSCAR CHISINI 



letta nella Sessione del 14 Novembre 1920 



Introduzione. 



1. — Ricordiamo che il problema della risoluzione della singolarità di una curva 

 piana viene posto, e risolto, in due aspetti diversi: risoluzione della singolarità mediante 

 trasformazioni Irrazionali del piano, o invece, mediante trasformazioni birazionali della 

 curva (non estendibili — come birazionali — ■ al piano): precisamente per mezzo delle 

 prime si arriva ad una curva dotata di punti multipli a tangenti distinte, e mediante 

 la seconda a una curva dotata di soli nodi-. Quando si voglia trattare la medesima 

 questione per una superficie, si può considerarla dal primo o dal secondo punto di 

 vista, riferendosi cioè a trasformazioni birazionali dello spazio ambiente o a trasforma- 

 zioni birazionali della superficie ( l ) : noi qui ci poniamo dal primo di tali punti di 

 vista; e precisamente in questa memoria dimostriamo che: Mediante trasformazioni 

 birazionali (quadratiche e monoidali) dello spazio ambiente, una superficie, f, dotata di 

 singolarità qualsiasi, può essere trasformata in un'altra /', dotata di curve multiple a 

 piani tangenti generalmente distinti e priva di punti multipli isolati : sulle curve mul- 

 tiple. si hanno due solespecie di punti singolari: 



a) incroci ordinari eli due curve multiple; per un tale incrocio le due curve 

 passano linearmente e con direzione diversa, e il punto non riesce ipermultiplo, ne base 

 per il sistema delle curve polari variabili staccate su f dalle sue superfìcie polari; 



(') Dal punto di vista delle trasformazioni birazionali delle superfìcie il problema fu risolto da 

 B. Levi nella Nota dell'Accademia delle Scienze di Torino intitolata «Risoluzione delle singolarità 

 puntuali delle superfìcie algebriche » (1899).' L'À. usa qui. di trasformazioni cremoniane dello, spazio 

 pur arrivando solamente a una trasformazione birazionale r della superfìcie, giacché egli trasforma la 

 superfìcie data in una superfìcie iperspaziale che ha per proiezioni la superficie di partenza e la sua 

 trasformata mediante una trasformazione cremoniana. In tal guisa egli elimina le singolarità create 

 dalla trasformazione, singolarità che noi, in questa memoria, dovremo invece minutamente esaminare. 



