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derivate rispetto ad x, non potrebbero infatti essere applicati senza che le funzioni 

 proposte fossero, per x — > A, entrambe infinite ed entrambe infinitesime. Ma se si 

 tratterà di funzioni f(xy). (p[xy), le quali, oltre la variabile x rispetto cui si vuol 

 derivare, contengono un altro parametro y, dimostrerò che, sotto determinate condi- 

 zioni, quei criteri rimangono validi anche se le funzioni f{xy), <fi(xy) assumono valori 

 diversi da zero e da infinito al tendere di x verso 1' ascissa A del punto (A, B) di 

 definizione impropria, per qualunque y -\= B, purché esse divengano in quel punto 

 entrambe infinite od infinitesime per y — ► B; cioè al variare di un parametro diverso 

 da quello rispetto cui si fanno le derivazioni. 



Quest' ultima parte della mia comunicazione sarà convenientemente sviluppata in 



una ulteriore pubblicazione. 



* 



1. Richiamerò, anzitutto, alcune proposizioni contenute in memorie precedenti (*). 



Teor. I. Bette le funzioni a(x), b(x), c(x), finite ed integrabili in ogni intervallo 

 finito x 'x [con <., x n , x << A, A finito od infinito), e supposto che la funzione c(x) 

 sia positiva, e la b(x) positiva, monotona e derivabile per oc < x < A ; che la deri- 

 vata b' (x) sia integrabile in ogni intervallo x Q ' x, (x < A), ed infine che esista il limite: 



j a(x)dx 



x— >A"p l 1 '- 



I c(x)dx 



J Xo 



j 



J a 



Xo .7 #o 



è limitato superiormente, nell' intervallo x Q A ; diverge anche 



A). Se l'integrale I (b'(x). I c(x)dx)dx è divergente per x — >A e se il rapporto 



.7 Xn •' X 



b(x)c(x) c(x) 



1) ' l 'x 



b{x)c(x)dx I c(x)dx 



Vi, . / Xo 



rx 



l'integrale I b(x) c{x)d. 



*.' Xij 



rx rx 



I a(x) b[x)dx I a(x)dx 



, , bm 1 -,■ lini F ,.„ 



V" ' x — ► A ~~rx X — * A ~tj ; ~~ " 



I b(x) c(x)dx I c(x)dx 



B). Se l'integrale I (b'(x) . I c(x)dx)dx converge per x — > A. se è 



J Xo J Xo 



x -Za b{x)lc(x)dx = 0, 



J Xo 



Xo 



ex 



'■oc e si ha 



(*) Cfr. E. Bortolotti. Sugli integrali definiti improprii ]« Rend. Circ. Mat. di Palermo. 

 XXXV, a. 1913 »]. Cap. IV. 



Il Metodo di nominazione per parti nel calcolo delle Serie[<t. Giorn. di Battaglìni Voi. LH 



(1916) »] §. 4 C n. 20-22. Teor. 2° e 3°. 



