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p(sr\ 

 e se inoltre è limitato superiormente il rapporto -^ : -— nell'intervallo 



Jb(x) c(x) 

 x 



I b(x)c(x)dx I c(x)da 



J X .' X 



x 'A; convergono anche gli integrali j a(x)b(x)dx , I b{x) c{x) dx , e si hi 



J Xo J Xo 



-x 



I a[x)b{x)dx I a(x)dx 



,o\ 1,m >l£ lim Jxo 



\ ó > x y A r-A x — >-A rx 



I b{x)c[x)dx I c(x)dx 



J X .' Xo 



Tbor. II. Date le funzioni a(x), b(x), c(x) finite ed integrabili in ogni intervallo 

 x a 'x (0 <^x Q , x •< A, A finito od infinito), e supposto che le funzioni b(x), c(x) 

 sieno entrambe positive, che esista, conservi lo stesso segno e sia ivi integrabile la 



rx rx 



derivata b\x); infine, che gli integrali I a(x)dx, I c(x)dx sieno convergenti per x — ► A 



J X J Xo 



ed esista determinato e finito (o nullo') il rapporto dei resti : 



(4) 



(a(x)da 

 . X 



x — ► a c A 



~x 



I c(x)da 



J X 



fé, c(x)b(x) c(x) 



A). Se l'integrale I b(x)c(x)dx è convergente ed il rapporto : — — 



^ Xo ic{x)b(x)dx fc{x)dx 



J X .' X 



è limitato superiormente, si ha 



I a(x)b(x)dx I a(x)dx 



, lim . J. r ' ' v lim J X K 



\°> x — *A r-A x — >A rA 



I b(x) c{x)dx ! c(x)dx 



J X J x 



C A < 



B). Se l'integrale I b(x) c(x)dx è divergente ed il rapporto — 



. 7 3Ct\ i J. 



c(x)b(x) c(x) 



è 



J-x rx 



b(x) c(x) dx I e (x) dx 



limitalo superiormente nell'intervallo x Q A; si ha : 



j aix) b(x)dx I a(x)dx 



1x„ Imi Jx 



lf\\ lim 



\ > x — >A r* oc — +A r A 



. rx x — ► A r 



I b(x) c{x) dx 



J Xo J a 



c(x)dx 



2. Conservando le ipotesi fatte negli enunciati dei teoremi precedenti, si ha, come 

 è noto, per integrali divergenti, la formula : 



XV 



rx 



I b (x) a 



(x)dx 



lini .) Xo lini 



X — ► A rx x — ► A 



I b (x) dx 



.' X, 



a(x) 



Xo 



