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 e per integrali convergenti : 



I bix) a(x)dx 



I b(x)dx 



J X 



Queste formule, sia per A a distanza finita, sia per A = oo, esprimono una iden- 

 tità numerica se esiste il secondo membro : se poi il limite a(x) non ha definizione 

 propria, ma se esiste determinato e finito il limite del primo membro, si potrà assu- 

 mere questo come valore assintotico del secondo membro, e le formule scritte avranno 

 valore di definizione del secondo membro nel punto x = A. 



3. In particolare si potranno così definire valori assintotici di integrali diver- 

 genti, (per intervallo di integrazione infinita se A = ce, per funzione sotto il segno 

 avente in A un punto di infinito se A è a distanza finita) ponendo : 



(9) a(x) = I u(x)dx, I = I u(x)dx 



ed intendendo che 2" rappresenti la espressione : 



rx rx 



I (b(x) ! u{x)dx)dx 



0°) i = x -Ia Jx ° p 



I b(OG)dOG 



<J OGti 



PS 



per integrali I b(x)dx divergenti; oppure: 



J Xc, 



J{b(x) I u(x)dx)dx 

 x Jxo 



^ li > x —x-+A Ti 



I b(x)dx 



per integrali convergenti. 



4. Ma, a giustificazione di un tale procedimento occorre dimostrare che, comun- 

 que sia scelta la funzione regolarizzatrice b{x), dia poi essa origine ad integrali 

 convergenti o ad integrali divergenti, il limite delle espressioni (10), (11), quando esiste, 

 deve esser sempre il medesimo. 



La dimostrazione si ricava dai teoremi superiormente ricordati. 



Supponiamo infatti, per fissare le idee, che si sieno scelte due funzioni regola- 



rizzatrici b(x), c(x) tali che 1' integrale j b(x)dx risulti divergente, e gli integrali 



J Xo 



I c(x)dx, I b(x)c(x)dx convergano entrambi. Nella ipotesi che esistano limiti finiti: 



./ Xo J Xo 



J-x r-A 



b(x)a(x)dx I c(x)a(x)dx 



Xo T _- lim Jx 



" m UXo T _ 



x — >A rx > c x — ► A 



rx ì <■ x — *■ A rA 



I b(x)dx I c(x)dx 



J Xo J X 



