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che corrispondono al metodo di sommazione di Holder; e la identità dei due metodi 

 risulta nel modo più evidente (*). 



* 



6. I risultamene ottenuti sono suscettibili di una molto maggiore estensione, tale 

 da poter comprendere anche i vari metodi, introdotti principalmente dal Borei, per 

 la sommazione di algoritmi divergenti. 



A ciò serviranno i teoremi seguenti : 



7. Teor. III. Sieno date due successioni 



fn(y), <pn{y), « = 0,1,2,..., ?/>0, 



e si supponga che la (p„{y) sia reale, positiva, monotona per ogni valore di y >■ 0, 

 e diventi infinita per n — >cc, y — >-cc, per modo che, ad ogni coppia di numeri 

 positivi e, n , corrispondano due altri numeri r QJ y Q , pure positivi e tali che 



j r ^ r f no {y) j £ <p no (y) < c . 



si vuol dimostrare che, se esistono quattro numeri positivi l. L, M. y , tali che 

 si abbia : 



n ^ m, l < \ f„»(y)\ — \fn{y)\ L 

 y^y t = $n+i(y) — <pn(y) 



ad ogni numero positivo a corrisponderanno due numeri yt, tq. tali che 



yì>y, — \<pn(y)\ — 



8. Teor. IV. Conservando per le f„{y), (p n (y) te ipotesi enunciate ed teorema pre- 

 cedente, si ha 



lini . , lim 



(12) 



„ _* OO f»M — n -'-* CO fn^jy) — fn(y) 



y-^OO (pniV) y-^OO $n+dy) — <P»(y) ' 



purché esista il secondo membro. 



9. Teor. V. Se le funzioni f(x, y), (pipo, y) delle variabili reali x, y sono deter- 

 minate, finite ed ammettono derivata parziale rispetto ad oc in ogni punto x ^> 0, 



y ^. ; se la — — ha sempre lo stesso segno e se la <p{xy) è infinita per x — ► ce . 



(*) Cfi\ W. Schnee. « Die Identità/, de Cesaroschen ùnd Holderschen Grenzwerthes » [Math. 

 Ann. LXVII (1909) pp. 110-125]. CfV. anche Borei E. « Legons sur les se'ries divergentes » (Pa- 

 ris 1901) Cap. III. — K. Knopp. « Grensicerthe von Reihen bei der Annàherung an die Konver- 

 genzgrenze » [Inaug. Diss. (1901), pag. 19-22]. 



