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y — >-cc con la condizione che, ad ogni coppia e, x Q di numeri positivi corrispon- 

 dano due numeri positivi x , y v tali che 



j oc > x t > x \_f(x^)j £ (p(oc , y) ^ £ 

 \y > y x (p{ocy) ' <p{xy) 



si ha 



(13) oc-Zco H°^l = x-™co ^.S 



y — co $(?°y) y — * CO ^ ^ 



purché esista il secondo membro. 



IO. Teor. VI. Se le funzioni a(xy), b(ocy) sono determinate e finite in ogni 

 punto a distanza finita (xy), x^O y^_0, se la b(xy) è positiva e tale che ad 

 ogni coppia e, oc , di numeri positivi corrispondano due numeri positivi x ]} y 1} con 

 la condizione 



x > x 1 > , 



y > y x , 



I rxo rxo 



I a{xy)b{xy)dx j b(xy)dx 



b(xy)dx I b(xy)dx 



si ha 



lim 



a[xy)b{xy)dx lim 



(14) a?--*cc v™_^ _ ^07-^co a (^) 



2/--*°° |&(o?y)da? y— «-co 



purché esista il secondo membro. 



11. La dimostrazione di questi teoremi si farà con le stesse riflessioni che ser- 

 virono a dimostrare gli analoghi teoremi nelle citate memorie « Sugli integrali defi- 

 niti impropri », e senza alcuna difficoltà se ne potranno ricavare le condizioni che 

 assicurano la validità di teoremi corrispondenti ai teor. I e II, superiormente recati. 



12. Se nella formula (14) il secondo membro non ha limite proprio, ma esiste 

 il limite del primo membro, si potrà assumere questo come valore assintotico del 

 secondo : e dai teoremi ricordati risulterà il principio di coerenza, con ragionamento 

 analogo a quello fatto al n.° 4, del presente lavoro. 



In particolare, posto 



a(x) =. \u\ 



.7 



x)clx , 



la relazione: 



(b(xì/)\u(x)dx)dx 

 (15) x- + co JA^-JSL- -^-= 00 ^ co L{x)dx., 



\b{xy)c'"' 



y-^oo \b(xi/)dx 



