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risulterà dimostrata, se l'integrale ìu(x)dx è convergente, servirà invece a definire 



Jo 



il valore assintotico di questo integrale, nel caso che esso diverga e che esista limite 

 determinato e finito pel primo membro. 



13. La funzione bixy) = I =j dx soddisfa le condizioni richieste dagli enun- 



J l(a?H-l) 



ciati dei teoremi precedenti, perciò potrà servire alla determinazione di valori assin- 



totici per integrali divergenti, al modo indicato dalle formule (15): e, considerando 



che si ha 



lim 1 C"° y a 



1 f 



dx ■=. 1 



y— >oo e y j rx^-ì 

 potremo scrivere la formula (15) al modo seguente : 



(16) y " e~ y \dxl\u{x)dx\ = = \n{x)dx^I 



J Jo \Jo / 1 07—1— 1 Jo' 



la quale, quando il secondo membro non abbia definizione propria, ed esista, invece 

 il limite del primo membro, ci esprimerà il valore assintotico dell' integrale diver- 

 gente, con formula perfettamente analoga a quella data dal Borei nel suo metodo di 

 sommazione esponenziale per serie divergenti. 



14. La formula (16), con trasformazione analoga a quella indicata dal Bo rei (*) 



si muta nella seguente : 



(17) | " e-v dy I u(v) . / dx = /, 



Jo Jo l(a;-f-l) 



la quale pure corrisponde ad uno dei noti metodi di sommazione di serie divergeiui. 

 Se ora supponiamo che l' integrale j u(x)dx converga e che sia lecita la inversione 

 nell'ordine delle integrazioni, potremo scrivere la (17): 



u(x) r- __ r- u{x) 



(18) 



dx fT-^-— e~y if dy= _, v . Toc-^l dx= u(x)dx : 

 r«M-l Jo Jo FaJ-r-1 Jo v 



e, rifacendo il cammino in senso inverso, si scorge che tale metodo di sommazione 

 assintotica, nella sua forma più generale, si riduce ad una inversione di limiti, e può 

 enunciarsi al modo seguente : 



Dato l'integrale I u(x)dx, determinato e finito per ogni x a distanza finita, ed inde- 



Jo 



terminalo per x — > co, si scelga in modo opportuno una funzione b(x) = i f l (xy)f {y)dx, 

 (*) Cfr. « Legons sur les séries divergenles » loc. ci f.. pag. 98. 



