Sulla trasformazione delle curve a torsione costante in Geometria iperbolica 



NOTA 



DEI, 



Prof. AMILCARE RAZZABOINI 



letta nella Sessione del 2 Maggio 1920. 



Il problema che forma 1' oggetto della presente comunicazione fu da me risolto 

 alcuni anni or sono nell'ipotesi dello spazio ellittico (*). Però, come ebbi ad osservare 

 ili una mia Nota posteriore, avente per titolo : Sulla trasformazione delle superficie 

 con un sistema di assintotiche a torsione costante negli spazi di curvatura costante (**), 

 esso è suscettibile di generalizzazione. Benché questa non presenti difficoltà, come appare 

 dal breve cenno che ne diedi al principio della Nota stessa, ho creduto tuttavia oppor- 

 tuno, per maggiore chiarezza, di trattare nuovamente tale questione, svolgendo però i 

 calcoli relativi nell'ipotesi che lo spazio anzi che ellittico sia iperbolico, per il quale 

 resta così direttamente dimostrata la validità della trasformazione considerata. 



Si abbia una curva C a torsione — costante, e conduciamo per ogni suo punto M, 



nel corrispondente piano osculatore, un segmento MM' di lunghezza costante a (in gene- 

 rale diversa da T) ed inclinato sulla tangente in M alla curva di un angolo 6 da 

 determinarsi come funzione, per ora incognita, del suo arco s. Supposta per semplicità 

 eguale a — 1 la curvatura dello spazio ambiente, indichiamo con a?j le coordinate di 

 M e con £,- jj>; t,i risp. i coseni direttori della tangente, della normale principale e della 

 binormale alla curva in esso punto: per le coordinate x\ di M' potremo evidentemente 

 scrivere le equazioni : 



(1) x\ = Xi cos ha -+- (£ t - cos d -+- r (i sen 0) sen ha (i = 0,1,2,3) 



da cui derivando e tenendo presente le forinole del Frenet: 



, > doci__ a% rii <% _ _ & __ ti d£i _ Vi 



[ ' ds "~~ ?i ' ds" p^ Xi ' ds ~ p ' T' ds ' ~ T 



seguiranno facilmente le altre: 



/ % doc\ .. ( .. Idd 1 \ j «. 



(2) — = seti ha cosa ■ oc t -+- )cos ha — sen ha sena 1 — )>§,■ ■+- 



ds ) \ds pi) 



n /d0 1 \ sen ha sen d ^ 



-+- sen ha cos U — - -+- - m £ t - . 



\ds p] T 



(*) Rendiconti di questa Accademia, anno 1908-1909. 

 (**) Memorie di questa Accademia, anno 1917-18. 



